ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו

טעינה ופריקה של קבל

אחד הנושאים שלמדנו לקראת סוף לימודינו בתחום האלקטרוסטאטיקה היה הקבל החשמלי. למדנו כיצד הקבל מקבל אליו מטען חשמלי ואוגר אותו בתוכו. למדנו גם על חיבור קבלים באופן טורי ובאופן מקבילי ועל חלוקת המטען החשמלי ביניהם.

בפרק חותם זה, של החלק הדן בניתוח המעגל החשמלי ופתרונו, נחקור לעומק את אופן פעולתו של הקבל במעגל החשמלי. בפרק זה נראה כיצד הקבל משפיע על הזרמים הזורמים בו ועל המתחים המופיעים בו.

מעגל חשמלי פשוט ובסיסי הכולל קבל הינו כזה המתואר באיור הבא:

מעגל חשמלי פשוט עם קבל

כשהמתג S מחובר לנקודה 1 יזרום זרם חשמלי במעגל דרך הנגד ודרך הקבל. נזכיר שהזרם החשמלי הוא לפי הגדרתו מעבר של כמות של מטען חשמלי ליחידת זמן,

I = Δq / Δt

או לפי חשבון דיפרנציאלי,

I = dq / dt

המטען החשמלי היוצא ממקור המתח יעבור דרך הנגד וייאגר בקבל החשמלי. כתוצאה מכך, על הקבל החשמלי יתחיל להתפתח מתח חשמלי ההפוך בכיוונו לזה של מקור המתח.

ככל שיעבור הזמן כך המתח החשמלי על הקבל (הנובע מאגירת המטען החשמלי בו) ילך ויגדל. שים לב שהמתח על הקבל מתפתח בקוטביות הפוכה ממקור המתח המזין אותו. לפי חוק קירכהוף השני (כלל הלולאה) עלייה הדרגתית במתח המתפתח על הקבל תגרום לירידה בזרם החשמלי הזורם במעגל. נשים לב שהמתח על הקבל נחשב כמקור מתח בפני עצמו, לכן במשוואה הנובעת מהחוק השני של קירכהוף הוא יופיע לצד מקורות המתח בלולאה.

ε – V_c = I R

המתח מתפתח על הקבל כתוצאה ממעבר המטען החשמלי אליו לפי המשוואה שמצאנו בפרק על הקבל,

C = q / V_c

כלומר, המתח על הקבל שווה לכמות המטען החשמלי בו מחולקת ביכולת הקיבול שלו,

V_c = q / C

נציב משוואה זו במשוואה שהתקבלה מחוק קירכהוף השני יחד עם העובדה שהזרם החשמלי מוגדר ככמות מטען חשמלי ליחידת זמן ונקבל את המשוואה הבאה,

ε – q / C = R dq/dt

C ε – q = RC dq/dt

הביטוי dq/dt הינו גזירה של כמות המטען q לפי זמן t. נסמן את הנגזרת של q כ- q' ונקבל,

q + RC q' = C ε

זוהי משוואה דיפרנציאלית ביחס למשתנה q שפתרונה כולל ביטוי מעריכי (אקספוננציאלי) של המספר הטבעי e,

q = C ε (1-e^-t/RC)

נחזור מפתרון של המטען החשמלי q למושגים של המעגל החשמלי. נחליף את q בביטוי הכולל את המתח המתפתח על הקבל ונקבל,

C V_c = C ε (1-e^-t/RC)

נצמצם את C משני האגפים ונקבל,

V_c = ε (1-e^-t/RC)

הסבר על המשוואה: קודם נזכיר ש- e הוא המספר הטבעי וערכו בקירוב הוא 2.718. ברגע העברת המתג מנקודה 2 לנקודה 1, כאשר t עדיין שווה לאפס, נקבל שהחזקה של e היא אפס ולכן הביטוי e^-t/RC שווה לאחד וערכו של V_c יהיה אפס. כלומר, ברגע העברת המתג למצב 1 המתח על הקבל הוא אפס. ככל שעובר הזמן (t הולך וגדל) כך הביטוי e^-t/RC יקטן מערכו ההתחלתי של אחד ויקטן יותר ויותר לכיוון הערך אפס. כלומר, המתח המתפתח על הקבל הולך וגדל בערכו עם הזמן. אחרי מספיק זמן הביטוי e^-t/RC יהיה בקירוב שווה לאפס ולכן המתח על הקבל V_c יהיה שווה בקירוב למתח ε של המקור החשמלי.

נסכם שלפי ניתוח המשוואה נראה שהמתח המתפתח על הקבל הולך וגדל עם הזמן, מערך אפס עד לערך ε. אבל המתח על הקבל לא גדל בקצב קבוע. ככל שהזמן עובר המתח על הקבל הולך וגדל, אבל בתוספות הולכות וקטנות, כלומר בקצב איטי יותר ויותר. אחרי פרק זמן מסוים, התוספת בה המתח על הקבל גדל היא קטנה מאוד, אפסית, ואז נקבל שהמתח על הקבל כבר כמעט זהה למתח ε שמספק המקור.

נוכל לצייר גרף המתאר לפי הביטוי שלעיל את התפתחות המתח על הקבל עם הזמן:

גרף התפתחות המתח על הקבל בזמן טעינתו

הסבר על הגרף: זהו גרף מעריכי המראה כיצד המתח על הקבל עולה בהתחלה בקצב גבוה. עם הזמן העלייה מתמתנת עד שהיא הופכת לאפסית, זאת כאשר המתח על הקבל מתקרב בערכו למתח של המקור החשמלי.

המתח על הקבל עולה בהדרגה ובמקביל עוצמת הזרם החשמלי אשר טוען אותו יורדת בהדרגה.
נמצא את הביטוי עבור זרם הטעינה החשמלי.

זרם הטעינה של הקבל זהה לזרם הזורם דרך הנגד. לפי חוק אוהם, הזרם הזורם דרך הנגד הוא,

I = (ε – V_c) / R

I = (ε - ε (1-e^-t/RC)) / R

I = ε (1 – 1 + e^-t/RC) / R

I = ε e^-t/RC / R

זרם הטעינה של הקבל מתואר בגרף הבא:

גרף התפתחות זרם טעינת הקבל

זרם הטעינה ברגע אפס שווה ל-ε/R. זהו הערך המרבי של זרם הטעינה. עם הזמן זרם הטעינה הולך ויורד, בהתחלה הירידה היא בקצב גבוה ואחרי פרק זמן מסוים הירידה הופכת למתונה מאוד עד שהיא הופכת לזניחה, לאפסית.

גם בתיאור הקודם של התפתחות המתח על הקבל וגם כעת בתיאור זרם הטעינה של הקבל הזכרנו שאחרי פרק זמן מסוים ערכים אלו הולכים ומתייצבים, המתח על ערך מתח המקור והזרם על ערך אפס. נרצה כעת לקבל הערכה מדדית לחישוב פרק זמן מסוים זה.

באופן תיאורטי הטעינה של הקבל לעולם אינה נפסקת. המתח לעולם אינו מגיע לערך מתח המקור והזרם לעולם אינו מפסיק לזרום במעגל. אולם, אחרי פרק זמן מסוים, אותו נמצא מייד, ההבדל בין מתח הקבל למתח המקור ועוצמת זרימת הזרם במעגל הופכים לאפסיים.

משתנה הזמן t מופיע בביטויים לחישוב מתח הקבל וזרם הטעינה שלו כשהוא מחולק במכפלת ההתנגדות החשמלית בקיבול הקבל, RC. לכן, נמצא את ערכי המתח על הקבל וזרם הטעינה שלו לפי כפולות של המכפלה RC. נרכז את החישובים הללו בטבלה הבאה:

פרק הזמן – t	המתח על הקבל Vc	זרם הטעינה I
0	0 ε 0% ε	1 ε/R 100% ε/R
RC	~0.63212 ε ~63.212% ε	~0.36788 ε/R ~36.788% ε/R
2RC	~0.86466 ε ~86.466% ε	~0.13534 ε/R ~23.534% ε/R
3RC	~0.95021 ε ~95.021% ε	~0.04979 ε/R ~4.979% ε/R
4RC	~0.98168 ε ~98.168% ε	~0.01832 ε/R ~1.832% ε/R
5RC	~0.99326 ε ~99.326% ε	~0.00674 ε/R ~0.674% ε/R
6RC	~0.99752 ε ~99.752% ε	~0.00248 ε/R ~0.248% ε/R
7RC	~0.99909 ε ~99.909% ε	~0.00091 ε/R ~0.091% ε/R
8RC	~0.99966 ε ~99.966% ε	~0.00034 ε/R ~0.034% ε/R
9RC	~0.99988 ε ~99.988% ε	~0.00012 ε/R ~0.012% ε/R
10RC	~0.99995 ε ~99.995% ε	~0.00005 ε/R ~0.005% ε/R

מהטבלה שלעיל עולה כי אחרי פרק זמן של 5RC מתח הקבל מגיע ליותר מ- 99% מערכו המרבי וזרם הטעינה אל מתחת ל- 1% מערכו המרבי. לכן, ניתן לומר שאחרי פרק זמן של 5RC תהליך טעינת הקבל הגיע בקירוב טוב לסיומו.

המכפלה של RC מוגדרת כקבוע זמן הטעינה של הקבל, המסומן באות היוונית τ (טאו).

τ = R C

המשתנה τ נמדד ביחידות של שנייה – s.

אחרי פרק זמן של 5τ, כלומר אחרי שהקבל נטען, נעביר את המתג S מנקודה 1 לנקודה 3. כשהמתג נמצא בנקודה 3 מקור המתח מנותק מהמעגל. המעגל הוא כעת חסר מקור מתח, אך עדיין יש בו הפרש פוטנציאלים הקיים בין שני צידי הקבל הטעון.

בתהליך טעינת הקבל, בצד של הקבל, שהיה מחובר להדק החיובי של מקור המתח, הצטבר במטען חשמלי חיובי. לעומת זאת, בצד השני של הקבל, שהיה מחובר להדק השלילי של מקור המתח, הצטבר מטען חשמלי זהה בגודלו אבל בסימן שלילי.

תנועת מטענים חשמליים בטעינת הקבל

כעת, בתהליך פריקת המטען החשמלי מהקבל ינוע מטען חשמלי מצד אחד של הקבל אל צידו השני עד שהמטענים החשמליים יבטלו זה את זה ויושג איזון חשמלי. ברגע שיושג איזון חשמלי בין שני צידי הקבל לא יהיה עוד הפרש פוטנציאלים בין לוחותיו, לא יהיה מתח חשמלי במעגל וזרימת הזרם החשמלי תיפסק.

כלומר, בתהליך הפריקה של הקבל תהיה זרימה של אותה כמות של מטען חשמלי שזרמה בטעינתו, רק שכעת הזרימה תהיה בכיוון ההפוך.

נמצא את המשוואה המתארת את השינוי בכמות המטען החשמלי בקבל בזמן תהליך פריקתו.

הקבל מאבד כמות מטען חשמלי של dq בפרק זמן dt, לכן הזרם הזורם במעגל הוא,

I = dq/dt

לפי חוק אוהם, המתח המתפתח על הנגד R הוא,

V_R = IR

נציב את משוואת הזרם ונקבל,

V_R = R dq/dt

מצד שני המתח שמספק הקבל למעגל הוא,

V_c = q / C

לפי החוק השני של קירכהוף (כלל הלולאה) סכום מפלי המתחים בלולאה שווה לסך מקורות המתח בה. נשתמש באותה משוואת קירכהוף שהשתמשנו בה בחישוב תהליך הטעינה של הקבל, רק שהפעם, מקור המתח שווה לאפס והזרם זורם בכיוון ההפוך,

ε – V_c = I R
–V_c = I R

מכיוון שהזרם זורם בכיוון ההפוך ערכו יהיה הפעם,

I = -dq/dt

q / C = R dq/dt

נציב את הביטויים למתחים שמצאנו ונקבל

q / C + R dq/dt = 0

q + RC dq/dt = 0

הביטוי dq/dt הינו גזירה של כמות המטען q לפי זמן t. נסמן את הנגזרת של q כ- q' ונקבל,

q + RC q' = 0

זוהי משוואה דיפרנציאלית ביחס למשתנה q שפתרונה כולל ביטוי מעריכי (אקספוננציאלי) של המספר הטבעי e,

q = C ε e^-t/RC

נחזור מפתרון של המטען החשמלי q למושגים של המעגל החשמלי. נחליף את q בביטוי הכולל את המתח המתפתח על הקבל ונקבל,

C V_c = C ε e^-t/RC

נצמצם את C משני האגפים ונקבל,

V_c = ε e^-t/RC

את זרם פריקת הקבל נקבל מהפעלת חוק אוהם על הנגד החשמלי שאותו הזרם זורם דרכו ושמפל המתח עליו שווה למתח הפריקה של הקבל,

I = V_c / R

I = (ε / R) e^-t/RC

נשרטט את הגרפים המתאים את מתח הפריקה של הקבל ואת זרם הפריקה של הקבל:

תהליך פריקת הקבל

באופן דומה לתהליך טעינת הקבל, משך הזמן המעשי בו הקבל מתפרק ממתחו (למעלה מ- 99% מהערך ההתחלתי) וזרם הפריקה נפסק (יורד מתחת ל- 1% מערכו ההתחלתי) הוא 5RC או 5τ.

שים לב שזרם פריקת הקבל במעגל החשמלי הוא בכיוון הפוך לזרם הטעינה שלו. בשל הכיוון ההפוך של הזרם הוא מקבל כעת ערכים שליליים.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו : מכשירי מדידה | מקור מתח חשמלי מעשי | חיבור מקורות מתח | הספק חשמלי | חוקי קירכהוף | שיטת זרמי החוגים | מקור זרם חשמלי | משפט תבנין | התמרת כוכב משולש | טעינה ופריקה של קבל | סיכום ]