ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו

שיטת זרמי החוגים

בעזרת חוק אוהם ושני חוקי קירכהוף נוכל לפתור מעגלים מעורבים (בהם נמצא חיבור טורי וחיבור מקבילי) ובעלי ריבוי מקורות מתח.

אך ככל שהמעגל יהיה מורכב יותר ובעל יותר צמתות וחוגים יארך תהליך החישוב ופתרון המשוואות מרובות הנעלמים.

שיטה נוספת, קצרה יותר, לפתרון המעגל החשמלי פותחה על-ידי הפיזיקאי מאקסוול. שיטה זו נקראת שיטת זרמי החוגים.

לפי שיטת זרמי החוגים נקבל את מערכת המשוואות של המעגל החשמלי בדרך הבאה:
1. נסמן מספר מינימאלי של חוגי-זרמים במעגל, כך שכל רכיב במעגל החשמלי (נגד או מקור-מתח) ייכלל בחוג אחד לפחות.
2. לכל חוג זרם נייחס כיוון. באופן שרירותי נבחר את כולם להיות בכיוון השעון.
3. נכתוב עבור כל חוג זרם את משוואת המתחים שלו הנובעת מהחוק השני של קירכהוף.

לדוגמה, נניח שלפנינו המעגל החשמלי המורכב הבא,

דוגמה לשימוש בשיטת זרמי החוגים

קל לראות כי המספר המינימאלי של חוגי-זרמים במעגל הכוללים בתוכם את כל רכיבי המעגל לפחות פעם אחת באחד מהם הוא שלושה. סימנו כבר במעגל את שלושת חוגי-הזרמים וגם את כיוון הזרם בחוגים הללו – בכיוון השעון.

עבור כל חוג זרם נכתוב את משוואת המתחים. נזכיר שמשוואת המתחים, לפי החוק השני של קירכהוף, טוענת שבכל לולאה סגורה סכום מקורות המתח שווה לסכום מפלי המתח. יש כמובן חשיבות לכיוון קוטביות מקור המתח ולכיוון מפל המתח המתפתח על הנגד. מקורות מתח שכיוון הזרם שהם מזרימים מההדק החיובי שלהם אל ההדק השלילי זהה לכיוון חוג הזרם יהיו חיוביים, אחרת יהיו שליליים בערכם. מפל המתח על כל נגד יכול להיות להתפתח כתרומה של יותר מזרם חוג אחד אם יותר מחוג זרם אחד עובר דרכו. התרומה מחוג הזרם של המשוואה יהיה תמיד חיובי (כיוון הזרם זהה לכיוון חוג-הזרם), אך שלילי כאשר התרומה היא מחוג זרם אחר (שהוא תמיד בכיוון הפוך לכיוון חוג-הזרם של המשוואה).

נכתוב את שלושת המשוואות המתקבלות משלושת חוגי-הזרמים שלעיל:

I₁: (R₁+R₂+R₄) I₁ – (R₂) I₂ – (R₄) I₃ = E₁ + E₃
I₂: –(R₂) I₁ + (R₂+R₃) I₂ – (R₃) I₃ = -E₂
I₃: –(R₄) I₁ – (R₃) I₂ + (R₃+R₄+R₅) I₃ = -E₃

מתהליך בניית המשוואות שלעיל ניתן להסיק את המסקנה הבאה:

מכיוון שבחרנו את הכיוון של כל זרמי החוגים להיות זהה (כולם בכיוון השעון) מתקבל בכל משוואת מתחים הנובעת מחוג k כלשהו שהזרם I_k בה מוכפל בסכום החיובי של כל ערכי הנגדים הנמצאים בחוג ואילו כל אחד מזרמי החוגים האחרים מוכפל בסכום השלילי של כל ערכי הנגדים המשותפים לו ולזרם החוג k.

כדי שנוכל ליצור כתיבה כללית למערכת המשוואות נגדיר את הסימונים הבאים:
- סכום ערכי הנגדים הנמצאים בחוג k יסומן כ- R_kk
- סכום ערכי הנגדים המשותפים לחוגים k ו- j יסומן כ- R_kj (או R_jk)

כעת נוכל לרשום את שלושת המשוואות בצורה הכללית והמקוצרת הבאה:

R₁₁ I₁ – R₁₂ I₂ – R₁₃ I₃ = ΣE₁
–R₂₁ I₁ + R₂₂ I₂ – R₂₃ I₃ = ΣE₂
–R₃₁ I₁ – R₃₂ I₂ + R₃₃ I₃ = ΣE₃

נשים לב שבאגפי שמאל של המשוואות מקדמי הזרמים המופיעים באלכסון (R₁₁, R₂₂ ו- R₃₃) הם כולם חיוביים וכל שאר המקדמים הם שליליים. נציין גם שכמובן מתקיים גם ש-

R_kj = R_jk

הערה: יתכן שיהיה חוג זרם במעגל בו אין אף מקור מתח (אלא רק נגד אחד או יותר), במקרה זה אגף ימין של המשוואה יהיה שווה כמובן לאפס.

המקרה לדוגמה שלעיל שפתרנו הוא עבור מעגל חשמלי בעל שלושה חוגי-זרם. כמובן שבמעגל חשמלי יכול להיות כל מספר (חיובי) של חוגי זרם. עבור שני חוגי-זרם נקבל מערכת של שתי משוואות בלבד,

R₁₁ I₁ – R₁₂ I₂ = ΣE₁
–R₂₁ I₁ + R₂₂ I₂ = ΣE₂

ובאופן כללי עבור מעגל חשמלי בעל n חוגי-זרם נקבל מערכת של n משוואות,

R₁₁ I₁ – R₁₂ I₂ – R₁₃ I₃ – … – R_1n I_n = ΣE₁
–R₂₁ I₁ + R₂₂ I₂ – R₂₃ I₃ – … – R_2n I_n = ΣE₂
–R₃₁ I₁ – R₃₂ I₂ + R₃₃ I₃ – … – R_3n I_n = ΣE₃
…
–R_n1 I₁ – R_n2 I₂ – R_n3 I₃ – … + R_nn I_n = ΣE_n

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו : מכשירי מדידה | מקור מתח חשמלי מעשי | חיבור מקורות מתח | הספק חשמלי | חוקי קירכהוף | שיטת זרמי החוגים | מקור זרם חשמלי | משפט תבנין | התמרת כוכב משולש | טעינה ופריקה של קבל | סיכום ]