ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו

הספק חשמלי

כפי שציינו בתחילת הפרק על המעגל החשמלי ישנן אפשרויות רבות למימוש מקור המתח החשמלי. מקור המתח החשמלי יכול להיות יכול להיות סוללה כימית, לוחות סולאריים הממירים את קרינת השמש לאנרגיה חשמלית, מחולל חשמלי המונע באמצעים שונים כגון: פחם, דלק, גז, אנרגית רוח, מפל מים, אנרגיה גרעינית ועוד.

כל מקורות המתח הללו ממירים צורה אחת של אנרגיה לצורת אחרת – לאנרגיית חשמל.

מקור המתח מעביר את האנרגיה שהוא מייצר למעגל החשמלי וזו נצרכת על ידו. כדי לנתח את צריכת האנרגיה במעגל החשמלי על-ידי רכיביו השונים נשתמש בגודל הפיסיקלי של הספק. נזכיר שמושג ההספק, המסומן באות P, קיים בעולם המכאניקה ומשמעו היא כמות האנרגיה המועברת (מושקעת או נצרכת) ליחידת זמן, כלומר,

P = ΔE / Δt

ΔE – כמות אנרגיה, ביחידות של ג'אול J
Δt – פרק הזמן, ביחידות של שנייה s

יחידת ההספק החשמלי היא וואט W וזו מחליפה את היחידה J/s.

האנרגיה שמספק מקור מתח חשמלי (כמו סוללה חשמלית) שווה לסך אנרגיה הנמצאת באלקטרונים היוצאים ממנו. כל אלקטרון יוצא ממקור המתח כשהוא מכיל אנרגיה. כמות האנרגיה שמסופקת לכל אלקטרון לפני שהוא יוצא החוצה ממקור המתח שווה לפוטנציאל החשמלי V של מקור המתח. סך האנרגיה הנפלטת ממקור המתח שווה לאנרגיה של כל אלקטרון היוצא ממנו כפול כמות האלקטרונים. כמות האלקטרונים הרי שווה לכמות המטען החשמלי q שמקור המתח איבד, כלומר, לשינוי בכמות המטען החשמלי שלו. נקבל,

ΔE = V Δq

נציב זאת במשוואה של ההספק החשמלי ונקבל,

P = ΔE / Δt
P = V Δq / Δt

כזכור לנו, הזרם החשמלי מוגדר ככמות המטען החשמלי העוברת ליחידת זמן,

I = Δq / Δt

נציב את I במשוואת ההספק החשמלי ונקבל,

P = V I

עבור רכיבים במעגל החשמלי המקיימים את חוק אוהם (ואך ורק עבורם!) ניתן להמיר את המתח החשמלי V או את הזרם החשמלי I ולקבל גם את שתי המשוואות הבאות לחישוב ההספק החשמלי,

P = I² R
P = V² / R

כפי שציינו המטען החשמלי עוזב את הסוללה עם מתח חשמלי V, אך כזכור לנו לסוללה יש כא"מ ε היורד לרמה V רק בשל אובדן אנרגיה על ההתנגדות הפנימית r שלו. כלומר, ההספק החשמלי המושקע על-ידי הסוללה הוא,

P_ε = ε I

בהתקיים חוק אוהם בסוללה נוכל למצוא ביטוי התלוי בזרם החשמלי I והמגדיר את ההספק החשמלי המושקע בה כדי להתגבר על ההתנגדות הפנימית שלה,

P_r = I² r

מכאן שההספק החשמלי היוצא מהסוללה ומגיע למעגל החשמלי הוא,

P = P_ε – P_r
P = ε I – I² r

כדי למצוא את הערך המרבי של ההספק החשמלי שניתן להפיק מסוללה חשמלית נבצע קודם גזירה של פונקציה ההספק החשמלי לפי המשתנה I ונשווה את תוצאת הגזירה לאפס,

P'(I) = 0
ε – 2Ir = 0
I = ε / (2r)

קיבלנו את הערך של עוצמת הזרם החשמלי שעבורה יתקבל שההספק החשמלי המושקע מחוץ לסוללה הוא מרבי. נציב את הערך של הזרם I בביטוי לחישוב ההספק ונקבל,

P_max = ε (ε / (2r)) – (ε / (2r))2r
P_max = ε² / (2r) – ε² / (4r)
P_max = ε² / (4r)

הדרך להבטיח שהצרכן במעגל החשמלי יקבל את עוצמת ההספק המרבית ביותר שהסוללה יכולה לספק היא לדאוג שההתנגדות החשמלית במעגל תהיה כזו שתגרום לזרם החשמלי להגיע לערך שחישבנו לעיל.

ε = I (r + R)
ε = (r + R) ε / (2r)
2r = r + R
R = r

כלומר, כאשר ההתנגדות הכוללת R של המעגל החשמלי שווה להתנגדות r של הסוללה אליה הוא מחובר נקבל את צריכת ההספק המרבית מהסוללה.

עכשיו אחרי שאנחנו יודעים כיצד ניתן להשיג את ההספק המרבי נרצה לדעת גם מהו אחוז ההספק מתוך הסוללה שמנוצל במעגל החשמלי. כלומר, נרצה לדעת מהי נצילות ההספק החשמלי במעגל.

נצילות ההספק החשמלי, אותה נסמן על-ידי η, מחושבת לפי חלוקה של ההספק המנוצל בסך ההספק המושקע. כלומר, הנצילות המרבית שניתן יהיה להשיג היא,

η = I² R / (ε I)
η = I R / ε

נציב במקום I את הביטוי עבורו,

I = ε / (R + r)

ונקבל,

η = ε / (R + r) ∙ R / ε
η = R / (R + r)

שים לב: מכיוון שההתנגדות r היא תמיד בעלת ערך חיובי נקבל שהנצילות לעולם אינה יכולה להגיע לערך 1 (100%).

נזכיר שההספק המרבי נצרך מהסוללה כאשר R=r ובמקרה זה נקבל שהנצילות היא,

η = 0.5

כלומר, כאשר נרצה לצרוך מסוללה חשמלית את האנרגיה האגורה בה בצריכת הספק מרבית תהיה הנצילות רק 50%! לשם הדוגמה, אם הצרכן החשמלי הינו תנור חימום, אז כדי להפיק חום מרבי ממנו נדרש שההתנגדות החשמלית שלו תהיה שווה לזו של מקור המתח. במקרה זה, התנור יוכל לספק חום עז, אך הבזבוז הוא גדול ואם הוא מחובר לסוללה זו תיגמר מהר. הנצילות במקרה זה היא נמוכה ולא יעילה.

זו כמובן אינה הנצילות המרבית שניתן להשיג מהסוללה. מהמשוואה של הנצילות עולה כי ככל שההתנגדות החשמלית הכוללת R של המעגל החשמלי גבוהה יותר, כך נקבל נצילות גבוהה יותר ומתקרבת יותר ויותר לחסם העליון שלה – 1 (100%). או במילים אחרות, ככל שנצרך מתוך הסוללה את האנרגיה החשמלית האגורה בה בצריכת הספק נמוכה יותר, כך נצילות ההספק תהיה גדולה יותר. אם נחזור לדוגמה של תנור החימום, אז יהיה יעיל יותר לחבר תנור בעל התנגדות חשמלית גדולה יותר ולהפיק ממנו חום בעוצמה נמוכה יותר אך לאורך יותר זמן.

לדוגמה, נבחן את המקרה של מעגל חשמלי בו מחובר מקור מתח של 12V עם התנגדות פנימית של 1Ω לצרכן חשמלי בעל התנגדות חשמלית כלשהי.

כאשר התנגדות הצרכן החשמלי שווה גם היא ל- 1Ω נקבל שהזרם החשמלי במעגל הוא,

I = V / (R + r) = 12 / (1+1) = 6A

וההספק החשמלי הנצרך על-ידי הצרכן החשמלי הוא,

P = I² R = 36W

זהו גם ההספק החשמלי המתבזבז בתוך הסוללה כדי להתגבר על ההתנגדות הפנימית שלה,

P = I² r = 36W

מכיוון שההספק הנצרך בתוך המעגל וזה המתבזבז בתוך הסוללה שווים, אז הנצילות היא 50% בלבד,

η = R / (R + r)
η = 1 / (1 + 1) = 0.5 = 50%

מצד שני אם נחליף את הצרכן החשמלי בצרכן חשמלי אחר בעל התנגדות חשמלית של Ω100, נקבל שהזרם החשמלי הזורם במעגל הוא,

I = V / (R + r) = 12 / (100+1) = ~0.119A

וההספק החשמלי הנצרך על-ידי הצרכן החשמלי החדש הוא,

P = I² R = ~1.411W

במקרה זה ההספק החשמלי שמקבל הצרכן הוא משמעותית נמוך יותר.

ההספק החשמלי המתבזבז בתוך מקור המתח הוא,

P = I² r = ~0.0141W

והנצילות של ההספק החשמלי שמספק מקור המתח במקרה זה היא גבוהה הרבה יותר,

η = R / (R + r) = 100 / (100+1) = ~0.9901 = ~99.01%

בסופו של דבר נוכל לסכם את הדברים בשתי מסקנות משלימות:

1. כדי לנצל ביעילות גבוהה את האנרגיה החשמלית האגורה בסוללה יש לחבר אליה צרכן חשמלי בעל התנגדות גבוהה יחסית להתנגדות הפנימית של הסוללה. התוויה זו גורמת לצריכת הספק חשמלי נמוכה יותר אך ארוכה יותר בזמן ובסופו של דבר יעילה יותר.

2. אם נרצה להוציא ולצרוך את האנרגיה החשמלית האגורה בסוללה במהירות המרבית האפשרית, אז נצטרך לחבר אליה צרכן חשמלי בעל התנגדות חשמלית נמוכה וזהה לזו של הסוללה. במקרה זה האנרגיה החשמלית "נשלפת" מהסוללה במהירות וצריכת ההספק החשמלי על-ידי הצרכן החשמלי במשך זמן פעולתה של הסוללה היא גבוהה מאוד. אך משך זמן פעולתה של הסוללה הוא קצר מאוד. שיטה זו לא יעילה לניצול האנרגיה של הסוללה, כי חצי מהאנרגיה האגורה בה מתבזבזת בתוכה בצורת חום, כדי להתגבר על ההתנגדות הפנימית שלה.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו : מכשירי מדידה | מקור מתח חשמלי מעשי | חיבור מקורות מתח | הספק חשמלי | חוקי קירכהוף | שיטת זרמי החוגים | מקור זרם חשמלי | משפט תבנין | התמרת כוכב משולש | טעינה ופריקה של קבל | סיכום ]