ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו

חוקי קירכהוף

בפרקים הקודמים השתמשנו בחוק אוהם כדי לחשב זרמים, מתחים, התנגדויות והספק במעגלים חשמליים פשוטים יחסית. חוק אוהם לבדו לא יוכל לעזור לנו לערוך חישובים דומים במעגלים חשמליים מורכבים יותר. מעגל חשמלי מורכב יותר יכלול חיבורים בין ענפים שונים שלא בקצותיהם ואו מספר מקורות מתח הממוקמים בענפים שונים ובעלי ערכי מאפיינים שונים.

דוגמה למעגל חשמלי מורכב

כדי שניתן יהיה לפתור גם מעגלים מורכבים כדוגמת זה שלעיל, נמצאו והוגדרו שני חוקים הקרויים על-שם מנסחם, גוסטב קירכהוף. עוד על גילוי חוקי קירכהוף ניתן לקרוא בפרק מיוחד הדן בכך באתר זה.

החוק הראשון של קירכהוף (כלל הצומת) קובע שסכום הזרמים החשמליים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים החשמליים היוצאים מהצומת.

חוק זה נובע מחוק שימור המטען. חוק זה גם נובע מהעובדה הפשוטה שמטען חשמלי אינו מצטבר ונאגר כך סתם בנקודת הצומת. מקובל לסמן כל זרם הנכנס לצומת כחיובי וכל זרם היוצא מהצומת כשלילי לכן סכום הזרמים בנקודת הצומת הוא אפס.

חוק קירכהוף הראשון

החוק השני של קירכהוף (כלל הלולאה) קובע שהסכום של כל מקורות המתח בתוך לולאה חשמלית סגורה שווה לסכום מפלי המתח באותה לולאה.

חוק קירכהוף השני

חוק זה נובע מחוק שימור האנרגיה. סך האנרגיה החשמלית שמספקים מקורות המתח החשמלי חייב להיות שווה לסך האנרגיה החשמלית המושקעת (בין אם לביצוע פעולה ממשית כמו הדלקת נורה ובין אם לבזבוז כמו חימום נגד). מקובל לקבוע באופן שרירותי כיוון ללולאה (או עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון), ואז כל מקור מתח המזרים זרם (מהדק חיובי להדק שלילי) עם כיוון הלולאה שבחרנו יהיה חיובי ואם להפך אז שלילי. כל מפל מתח על נגד או צרכן חשמלי אחר יהיה חיובי אם הזרם הזורם דרכו הוא בכיוון שברנו ללולאה או שלילי אם להיפך.

לדוגמה, מצא את ערכי הזרמים הזורמים בכל אחד מהענפים שבמעגל המורכב הבא,

מעגל דוגמה לשימוש בחוקי קירכהוף

כאשר,

V₁ = 10V
V₂ = 20V
V₃ = 40V
R₁= 100Ω
R₂ = 500Ω
R₃ = 1KΩ
R₄ = 1KΩ

נסמן במעגל את כיווני הזרמים באופן שרירותי. נשתדל שבכל לולאה סגורה כיוון הזרם יהיה מההדק החיובי של מקור המתח (הגדול יותר, אם יש כמה) אל ההדק השלילי, אך זה בהחלט לא הכרחי. אם טעינו והזרם חשמלי זורם בכיוון ההפוך מהכיוון שבחרנו לסמן, אז פשוט נקבל ערך זרם שלילי. נסמן במעגל גם את כיווני הלולאה (לפי כיוון השעון) לחישוב מפלי המתחים על הנגדים.

סימון כיווני לולאה של חוקי קירכהוף

נפעיל את חוק קירכהוף הראשון על ארבעת הצמתות ונקבל,

I₁ + I₃ = I₂
I₂ + I₄ = I₅
I₅ = I₃ + I₆
I₆ = I₁ + I₄

נפעיל את חוק קירכהוף השני על כל שלושת הלולאות, מהשמאלית ביותר, נקבל,

V₁ = I₁ R₁ – I₃ R₂ + I₆ R₃
V₂ = I₃ R₂
–V₃ – V₂ = –I₄ R₄ – I₆ R₃

מכיוון שישנן שלוש לולאות קיבלנו מערכת של שלושה משוואות. במשוואות שלעיל ידועים ערכי המתחים והנגדים, אך לא ערכי ששת הזרמים. כדי שנקבל מערכת פתירה של שלושה משוואות נצמצם את מספר הזרמים הנעלמים לשלושה בעזרת המשוואות שקיבלנו מחוק קירכהוף הראשון.

נבחר אילו זרמים נעלמים להחליף ולייצג על-ידי האחרים באופן שרירותי, לפי נוחות החישוב שלנו. למשל,

ההחלפה של הזרם I₂ מתקבלת ישירות מהמשוואה הראשונה ללא כל מאמץ חישובי,

I₂ = I₁ + I₃

גם ההחלפה של הזרם I₅ מתקבלת ישירות ללא כל מאמץ חישובי,

I₅ = I₂ + I₄

הזרם I₆ מתקבל ישירות מהמשוואה הרביעית ללא כל מאמץ חישובי,
I₆ = I₁ + I₄

נציב את ערכי המתחים והנגדים ונחליף את הזרמים שמצאנו, נקבל,

10 = 100I₁ – 500I₃ + 1000(I₁ + I₄)
20 = 500I₃
–40 – 20 = –1000I₄ – 1000(I₁ + I₄)

למעשה, בדיעבד, היינו זקוקים רק להחלפה של I₆ בדוגמה זו. אך לשם הדוגמה הראנו את הדרך המלאה.
מהמשוואה השנייה נקבל,

20 = 500I₃
I₃ = 0.04A

נחלץ את I₄ מהמשוואה השלישית ונקבל,

–40 – 20 = –1000I₄ – 1000I₁ – 1000I₄
2000I₄ = –60 – 1000I₁
I₄ = –0.03 – 0.5I₁

נציב את הזרמים שמצאנו במשוואה הראשונה ונקבל,

10 = 100I₁ – 500I₃ + 1000(I₁ + I₄)
10 = 100I₁ – 20 + 1000I₁ – 30 – 500I₁
60 = 600I₁
I₁ = 0.1A

נציב ונקבל ששלושת הזרמים במעגל החשמלי שמופיעים בשלושת המשוואות שפתרנו הם,

I₁ = 0.1A
I₃ = 0.04A
I₄ = -0.08A

נשים לב, שקיבלנו שהזרם I₄ זורם בכיוון הפוך לזה שבחרנו לסמן בשרטוט.

ושאר הזרמים במעגל החשמלי, שאותם החלפנו במשוואות, הם,

I₂ = I₁ + I₃ = 0.1 + 0.04 = 0.14A
I₅ = I₂ + I₄ = 0.14 + (-0.08) = 0.06A
I₆ = I₁ + I₄ = 0.1 + (-0.08) = 0.02A

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | ניתוח המעגל החשמלי ופתרונו : מכשירי מדידה | מקור מתח חשמלי מעשי | חיבור מקורות מתח | הספק חשמלי | חוקי קירכהוף | שיטת זרמי החוגים | מקור זרם חשמלי | משפט תבנין | התמרת כוכב משולש | טעינה ופריקה של קבל | סיכום ]