השדה החשמלי

שטף חשמלי

בפרקים הקודמים למדנו על קיומו של השדה החשמלי הניתן להמחשה בעזרת קווי השדה החשמלי. קווי השדה החשמלי משמשים אותנו כדי למצוא את כיוון הפעולה של הכוח החשמלי בכל נקודה במרחב שהוא המשיק לקו השדה החשמלי באותה נקודה.

בנוסף למציאת כיוון הפעולה של הכוח החשמלי יכולים קווי השדה החשמלי לשמש אותנו גם כדי לקבל הערכה איכותית לגבי עוצמתו של השדה החשמלי. באזור בו קווי השדה החשמלי צפופים יותר תהא עוצמת השדה החשמלי באותה נקודה גדולה יותר ולכן גם הכוח החשמלי, שיפעל על מטען q שיונח באותה נקודה, יהיה חזק יותר.

אזורים בעלי צפיפות שונה של קווי שדה חשמלי

צפיפות קווי השדה החשמלי מגדירה גודל פיזיקאלי חדש – השטף החשמלי. השטף החשמלי בא לתאר כמותית את סכום עוצמת השדה החשמלי העובר אנכית דרך שטח מקטע מסוים.

לפני שנסביר למה נדרש שהשדה החשמלי יהיה אנכי למשטח, נבחן קודם את המקרה הפשוט בו נרצה לחשב את השטף החשמלי העובר דרך מלבן המוצב אנכית לקווי שדה חשמלי אחיד וקבוע.

שטף חשמלי דרך משטח אנכי

לפני שנסביר למה נדרש שהשדה החשמלי יהיה אנכי למשטח, נבחן קודם את המקרה הפשוט בו נרצה לחשב את השטף החשמלי העובר דרך מלבן המוצב אנכית לקווי שדה חשמלי אחיד וקבוע. במקרה פשוט זה, השטף החשמלי העובר דרך המלבן שווה למכפלה של עוצמת השדה החשמלי E בנקודה כלשהי בשטח המלבן (הרי מדובר בשדה אחיד וקבוע) בשטח המלבן עצמו A.

Φ_E = E A

נשים לב שהשטף הינו גודל סקלרי, חסר כיוון. לכן המכפלה שלעיל היא מכפלה סקלרית בין שני ווקטורים: ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח.

השטח A הינו ווקטור היכול לקבל זווית הטיה α לעומת קווי ווקטור השדה החשמלי. נשים לב שאם נטה את המלבן ביחס למיקומו הקודם, האנכי לעומת קווי השדה החשמלי, אז נקבל שפחות ופחות קווי שדה חשמלי עוברים דרכו, משמע שהשטף החשמלי דרכו הולך וקטן ככל שזווית ההטיה גדלה.

הטית המשטח ממיקומו האנכי לקווי השדה

זווית ההטיה של השטח A הקטינה אפקטיבית את גודל השטח שדרכו יכולים קווי השדה החשמלי לעבור ולכן גם הקטינה את השטף החשמלי העובר דרך השטח.

השטח האפקטיבי לחישוב השטף החשמלי הינו היטל השטח המתקבל על המישור שאנכי לקווי השדה החשמלי.

השטח האפקטיבי לחישוב שטף חשמלי

אורך הצלע a' של היטל המלבן A' הוא,

cosα = a'/a
a' = a cosα

נקבל ששטח היטל המלבן A' הוא,

A' = A cosα

ומכאן שהמשוואה הכללית יותר לחישוב השטף החשמלי העובר דרך משטח המוטה בזווית α ביחס למישור האנכי לקווי השדה החשמלי היא,

Φ_E = E A cosα

Φ_E – השטף החשמלי, ביחידות של ניוטון כפול מטר בריבוע לקולון [N∙m²/c]
E – עוצמת השדה החשמלי, ביחידות של ניוטון לקולון [N/c]
A – גודל המשטח, ביחידות של מטר בריבוע [m²]
α – זווית ההטיה של המשטח

נשים לב שעבור המקרה הפרטי בו α=0º, כלומר ללא הטיה, נקבל את המשוואה עבור המקרה הפרטי בו פתחנו פרק זה.

בדוגמה שהראינו חישבנו את השטף החשמלי העובר דרך משטח מלבני קל לחישוב. אך כיצד נוכל לחשב את השטף החשמלי העובר דרך שטח עקום כלשהו?

שטף חשמלי העובר דרך שטח עקום

את השטף החשמלי העובר דרך שטח עקום כלשהו נוכל לחשב בעזרת חלוקה של השטח העקום למשטחים מלבניים קטנים מאוד. נחשב את השטף החשמלי העובר דרך כל משטח מלבני קטן. סכום השטף החשמלי העובר דרך כל אחד מהמלבנים הקטנים ייתן את השטף החשמלי הכולל העובר דרך המשטח העקום כולו.

חישוב שטף חשמלי דרך משטח עקום

כמובן שככל שנחלק את המשטח העקום לפיסות קטנות יותר כך יהיה החישוב המקורב של השטף החשמלי העובר דרכו מדויק יותר.

בעזרת תורת הגבולות נוכל לנסח את המשוואה הכללית הבאה לחישוב שטף חשמלי דרך משטח כללי בעל צורה כלשהי,

_n             
Φ_E =   lim      (Σ ΔΦ_i)
ΔA_i→0   ^{i=1    
     n→∞}

_n            
Φ_E =     lim    (Σ E_i dA_i)
ΔA_i→0  ^{i=1    
     n→∞}

זוהי למעשה משוואה של אינטגרל לפי dA_i. נוכל, אפוא, לנסח את הנוסחה לחישוב השטף החשמלי בעזרת החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי,

_→  →          
Φ_E = ∫ E dA
^S

באופן מעשי, משוואה זו תהיה שימושית כאשר נרצה לחשב את השטף החשמלי העובר דרך משטח בעל צורה שהיא סימטרית ביחס לקווי השדה החשמלי. במקרים אלו חישוב האינטגרל הופך לפשוט וידוע. דוגמא לצורה סימטרית שכזו, עבורה החישוב הופך לפשוט, היא משטח כדורי העוטף מטען חשמלי הנמצא במרכזו.

על כך מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | השדה החשמלי : קיומו של השדה החשמלי | עוצמתו של השדה החשמלי | קווי השדה החשמלי | חיבור שדות חשמליים | שטף חשמלי | חוק גאוס | שימושי חוק גאוס | סיכום ]