השדה החשמלי

חוק גאוס

בפרק הקודם הכרנו את מושג השטף החשמלי ואת המשוואה הכללית לחישובו,

_→  →          
Φ_E = ∫ E dA
^S

משוואה זו נפתרת בקלות כאשר השטף החשמלי נוצר על-ידי גופים בעלי מבנה סימטרי בהם המטען החשמלי מפוזר באופן אחיד ומתחלק בצורה סימטרית. היתרון המתקבל כאשר ישנה חלוקה סימטרית של המטען החשמלי הוא בכך שהשטף החשמלי העובר דרך כל פיסה קטנה של שטח הוא זהה בגודלו.

למשל, נבחן את השטף החשמלי היוצא מגוף כדורי הטעון במטען חשמלי, כפי שנראה באיור הבא,

שטף חשמלי היוצא מפני גוף כדורי

נחלק את פני המשטח הכדורי לפיסות קטנות. באיור שלמטה חילקנו לדוגמה את שטח המעטפת לשמונה פיסות. מכיוון שהשדה החשמלי היוצא ממטען כדורי הוא רדיאלי (אנכי למעטפת) אזי נקבל שעבור כל פיסה השדה החשמלי היוצא דרכה ניצב לה בקירוב. כלומר זווית ההטיה α היא אפס בקירוב.

חלוקת שטח המעטפת לפיסות קטנות

מכאן שהשטף החשמלי העובר דרך כל פיסה קטנטנה ΔAi במעטפת הכדורית הוא,

ΔΦ_E = E ΔA_i cos α = E ΔA_i

ככל שנחלק את שטח המעטפת ליותר פיסות, שקטנות יותר בגודלן, נקבל קירוב טוב יותר ותוצאה מדויקת יותר של השטף החשמלי היוצא מכל פיסה.

אם נסכם את כל השטפים החשמליים העוברים דרך כל הפיסות הקטנטנות, אז הרי שנקבל את השטף החשמלי הכולל העובר דרך סך המעטפת הכדורית.

Φ_E = Σ ΔΦ_E = Σ E ΔA_i

Φ_E = E (ΔA₀ + ΔA₁ + ΔA₂ + … + ΔA_n)

הסכום של הביטוי שבתוך הסוגריים הוא למעשה שטח המעטפת של כדור אשר ערכו ידוע מהמשוואה הבאה,

A = ΔA₀ + ΔA₁ + ΔA₂ + … + ΔA_n = 4πr²

מכאן שנקבל שהשטף החשמלי העובר דרך המעטפת הכדורית הוא,

Φ_E = E 4πr²

נציב את ערכו של E ונקבל,

Φ_E = (k q/r²) ∙ 4πr²

Φ_E = 4πk q

קיבלנו שסך השטף החשמלי העובר דרך המעטפת הכדורית אינו תלוי כלל ברדיוסה. תוצאה זו אינה אמורה להפתיע אותנו שכן השטף הוא מכפלה של עוצמת השדה החשמלי בשטח המעטפת והרי העוצמה הולכת וקטנה לפי ריבוע המרחק בעוד שבמקביל לכך שטח המעטפת גדל לפי ריבוע המרחק. תוצאה זו היא גם הגיונית ולו רק מהסיבה שדרך כל מעטפת כדורית שנבנה סביב מרכז המטען החשמלי יעברו דרכה כל קווי השדה החשמלי שנוצרים ותמיד במאונך.

השטף דרך מעטפת כדורית קטנה או גדולה

מכיוון שהשטף החשמלי אינו תלוי ברדיוס המעטפת הכדורית נוכל לטעון, תוך שימוש בטעמי סימטריה, שלמשטחים יחסיים במעטפות כדוריות ברדיוסים שונים יש את אותה תרומה לשטף החשמלי.

מעטפות כדוריות ברדיוסים שונים

השטף החשמלי היוצא דרך המקטע הנמצא במעטפת הכדורית שרדיוסה R שווה לשטף החשמלי היוצא דרך המקטע הנמצא במעטפת הכדורית שרדיוסה r.

בעזרת הבנה זו נוכל לחשב את השטף החשמלי היוצא דרך כל משטח עקום העוטף מטען חשמלי ולאו דווקא משטח כדורי. נחלק את המעטפת העקומה למשטחים קטנים מאוד. מכל משטח במעטפת העקומה יש לקחת בעת חישוב תרומתו לשטף החשמלי רק את היטל שטחו על המישור הניצב לקווי השדה החשמלי. היטל השטח הוא למעשה מקטע במעטפת כדורית בעלת רדיוס R כלשהו.

היטלי מעטפת עקומה על מעטפת כדורית

והרי כבר טענו קודם מטעמי סימטריה שהשטף החשמלי היוצא דרך כל מקטע במעטפת כדורית שרדיוסה R כלשהו שווה לשטף החשמלי היוצא ממקטע במעטפת כדורית שרדיוסה r.

יוצא שסך כל תרומות השטף החשמלי מכל ההיטלים של מקטעים במעטפת העקומה שווה לסך כל תרומות השטף החשמלי מכל המקטעים במעטפת הכדורית שרדיוסה r ושאותה כבר מצאנו,

Φ_E = 4πk q

המסקנה הכללית היא שלא משנה מהי צורת המעטפת המקיפה את המטען החשמלי, כל עוד זו מעטפת סגורה נקבל שאותה כמות של שטף חשמלי שמצאנו עבור המעטפת הכדורית תעבור דרכה. לכן הביטוי שקיבלנו עבור השטף החשמלי שחושב עבור מעטפת כדורית נכון בעצם עבור כל צורה של מעטפת סגורה.

מאחר והמשוואה נכונה עבור כל משטח מעטפת סגורה העוטף את המטען החשמלי, אז הרי שמיקום המטען החשמלי הכלוא בתוך המרחב הסגור אינו חשוב. מכאן שאם נמצאים במרחב הסגור מספר מטענים חשמליים נוכל פשוט לסכם את התרומה הנפרדת של כל אחד מהם לחישוב השטף החשמלי הכולל היוצא מהמעטפת,

Φ_E = Φ_E(1) + Φ_E(2) + … + Φ_E(n)

Φ_E = 4πkq₁ + 4πkq₂ + … + 4πkq_n

או בקיצור,

Φ_E = 4πk Σq_i

ובחשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי יקבל הביטוי שלעיל את הניסוח הבא,

     _→ →
Φ_E = ∫ E dA = 4πk Σq_i
              ^S

כלומר, השטף החשמלי Φ_E העובר דרך משטח סגור שווה לסכום המטענים החשמליים הכלואים בו כשהם מוכפלים בקבוע 4πk. זהו חוק גאוס!

את ההכפלה בקבוע 4πk נהוג להחליף לפעמים בחלוקה בקבוע הדיאלקטרי בריק, שסימנו הוא ε₀,

ε₀ = 1 / 4πk

כלומר, ערכו של ε₀ הוא,

ε₀ = 1 / (4π∙9∙10⁹) = 8.85∙10^-12 [C² / (N∙m²)]

בשימוש בקבוע החדש נקבל את חוק גאוס בצורתו המקוצרת,

     _→ →
Φ_E = ∫ E dA = Σq_i / ε₀
              ^S

חוק גאוס שימושי למציאת ערכו של השדה החשמלי. בעזרת חוק גאוס נוכל למצוא את השטף החשמלי Φ_E ומתוך השטף החשמלי נוכל למצוא את השדה החשמלי E.

על כך מייד בפרק הבא.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | השדה החשמלי : קיומו של השדה החשמלי | עוצמתו של השדה החשמלי | קווי השדה החשמלי | חיבור שדות חשמליים | שטף חשמלי | חוק גאוס | שימושי חוק גאוס | סיכום ]