פוטנציאל חשמלי ומתח חשמלי

הפוטנציאל החשמלי שיוצרים גופים שונים

בפרק אחרון זה של החלק שנושאו "הפוטנציאל החשמלי והמתח החשמלי" נלמד כיצד ניתן לחשב את הפוטנציאל החשמלי שיוצרים גופים טעונים שונים.

קליפה כדורית שרדיוסה R

לפי חוק גאוס ראינו שהשדה החשמלי שיוצרת סביבה קליפה כדורית טעונה במטען חשמלי זהה לזה שהיה נוצר לו כל המטען החשמלי היה מרוכז בנקודה אחת במרכז הספרה הכדורית.

מכאן שהאנרגיה הפוטנציאלית שיקבל מטען בוחן q שיונח מחוץ לקליפה הכדורית, כלומר במרחק r ממנה כאשר r > R, היא,

Ep = k Q q / r

זאת כאשר המטען החשמלי הכולל בקליפה הוא Q.

נחלק את האנרגיה הפוטנציאלית הזו בגודלו של מטען הבוחן q ונקבל שהפוטנציאל החשמלי שמחוץ לקליפה הכדורית הוא,

V_p = k Q / r

עוד לפי חוק גאוס ראינו שבתוך הקליפה הכדורית (r < R) השדה החשמלי הוא אפס. לכן, בתוך הקליפה הכדורית הפוטנציאל החשמלי אינו משתנה ושומר על ערך קבוע,

V_p = k Q / R

בקליפה הכדורית עצמה (r = R) הפוטנציאל החשמלי שומר על רציפות ערכו בין שני האזורים,

V_p = k Q / R

כדור מוליך טעון ברדיוס R
בפרק על שימושי חוק גאוס הגענו כבר למסקנה שבתוך מוליך טעון לא נוצר שדה חשמלי. מכך הגענו גם למסקנה שכל המטען החשמלי העודף בו טעון המוליך נמצא צמוד לשטח הפנים שלו.

כלומר, הכדור המוליך הטעון מתנהג ממש כמו קליפה כדורית טעונה – המטען כולו מפוזר בצורה אחידה במעטפת כדורית.

מסקנה: אותן משוואות שהתקבלו עבור הקליפה הכדורית הטעונה תקפות גם עבור כדור מוליך טעון.

מכיוון ששני המקרים הללו זהים, נוכל להשתמש במשוואה לחישוב השדה החשמלי בקרבת מוליך לתיאור השדה החשמלי הנוצר בקרבה לכל אחד מהם,

E = σ / ε₀

מכיוון שבשני המקרים המטען החשמלי Q מפוזר באופן אחיד על פני שטח המעטפת שרדיוסה R, אז נקבל שצפיפות המטען החשמלי σ היא,

σ = Q / (4πR²)

מכאן שהשדה החשמלי שנוצר מחוץ למוליך הכדורי הוא,

E = Q / (4πR²ε₀)

נחליף את ε₀ בביטוי של k וגם נחלץ את Q,

Q = E 4πR²ε₀
Q = E 4πR²/(4πk)
Q = E R²/k

נוכל כעת להחליף את Q שבמשוואת הפוטנציאל החשמלי בשדה החשמלי. נקבל,

V_p = k Q / r
V_p = k E R²/ (kr)
V_p = E R²/ r

מכאן שעל פני הכדור המוליך (r = R) הפוטנציאל החשמלי שנוצר הוא,

V_p = E R

בנקודה בקו ההמשך של מוט מוליך טעון באורך L

במקרה של גופים לא סימטריים השלבים בחישוב הפוטנציאל החשמלי שגוף טעון חשמלית יוצר סביבו הם:

1. חלוקה אינפיטיסימלית של הגוף למקטעים קטנים שווים וחישוב כמות המטען החשמלי שבכל מקטע (חישוב יעשה כאן בהנחה קבועה שהמטען החשמלי מפוזר בגוף באופן אחיד)
2. חישוב תרומת האנרגיה החשמלית הפוטנציאלית של אותו מקטע קטן
3. בעזרת חישוב אינטגרל על סך התרומות נקבל את האנרגיה החשמלית הפוטנציאלית של הגוף כולו

נחשב את הפוטנציאל החשמלי בנקודה על ציר x שלאורכו מונח מוט מוליך טעון חשמלית באורך L. הנקודה נמצאת במרחק r מקצה המוט, כמתואר באיור הבא:

אנרגיה פוטנציאלית בקו ההמשך של מוט מוליך טעון

המוט טעון במטען חשמלי כולל Q המפוזר באופן אחיד על פני המוט. מכאן שצפיפות המטען החשמלי σ לאורכו של המוט היא,

σ = Q / L

לכן על פני כל מקטע מוט באורך dx מפוזרת כמות מטען חשמלי השווה ל-

dq = (Q / L) ∙ dx

תרומת האנרגיה החשמלית הפוטנציאלית dV_p שמייצרת אותה פיסת מוט dx שווה ל-

dV_p = kdq / x
dV_p = kQ / (Lx) ∙ dx

נחשב את סך התרומות של כל המקטעים בעזרת אינטגרל ונקבל,

           _L+r
V_p = ∫kQ / (Lx) ∙ dx
            ^r

_r+L          
V_p = kQ / L ∙ ∫1/x ∙ dx
^r        

V_p = kQ / L ∙ [ln(x)]_r→r+L

V_p = kQ / L ∙ [ln(r+L) – ln(r)]

V_p = kQ / L ∙ ln[(r+L)/r]

V_p = kQ / L ∙ ln(1 + L/r)

נשים לב שעבור המקרה הפרטי בו המוט קצר מאוד ביחס למרחק r (L<<r) נקבל שהפוטנציאל החשמלי במרחק מקצהו שווה בקירוב טוב ל

V_p ≈ kQ / L ∙ (L/r)
V_p ≈ kQ / r

זוהי המשוואה לחישוב הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי. כלומר, כאשר המוט קצר מאוד ביחס למרחק r, ניתן, בקירוב טוב, להתייחס למוט הקצר כאילו היה מטען נקודתי.

בניצב לאמצע מוט מוליך טעון באורך L

נציב מוט באורך L לאורך ציר y, כאשר מרכזו נמצא בראשית הצירים. נחשב את הפוטנציאל החשמלי בנקודה לאורך ציר x הנמצאת לכן במרחק x מהמוט כפי שמתואר באיור הבא:

אנרגיה פוטנציאלית בניצב לאמצע מוט מוליך טעון

גם במקרה זה המוט טעון במטען חשמלי כולל Q המפוזר באופן אחיד על פני המוט. מכאן שצפיפות המטען החשמלי σ לאורכו של המוט היא,

σ = Q / L

וכמות המטען החשמלי על פני כל מקטע מוט באורך dy שווה ל-

dq = (Q / L) ∙ dy

תרומת האנרגיה החשמלית הפוטנציאלית dV_p שמייצרת אותה פיסת מוט dy שווה ל-

dV_p = kdq / r
dV_p = kQ / (Lr) ∙ dy

נחשב את סך התרומות של כל המקטעים בעזרת אינטגרל ונקבל,

         _L/2
V_p = ∫kQ / (Lr) ∙ dy
          ^-L/2

המרחק r שווה ל-

r = √(x² + y²)

נציב ונקבל,

     _L/2
V_p = kQ / L ∙ ∫ 1/√(x² + y²) ∙ dy
      ^-L/2

V_p = kQ / L ∙ [ln (y + √(x² + y²))]_-L/2→L/2

V_p = kQ / L ∙ [ln (L/2 + √(x² + (L/2)²)) – ln (-L/2 + √(x² + (-L/2)²)]

V_p = kQ / L ∙ ln [(√(x² + (L/2)²) + L/2) / (√(x² + (L/2)²) – L/2)]

V_p = kQ / L ∙ ln [(√(x² + (L/2)²) – L/2 + L) / (√(x² + (L/2)²) – L/2)]

V_p = kQ / L ∙ ln [1 + L / (√(x² + (L/2)²) – L/2)]

שוב, עבור המקרה הפרטי בו המוט קצר מאוד ביחס למרחק x (L<<x) נקבל שהפוטנציאל החשמלי במרחק מאמצע המוט שווה בקירוב טוב ל-

V_p ≈ kQ / L ∙ (L/x)
V_p ≈ kQ / x

זוהי המשוואה לחישוב הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי (כאשר x מסמל את המרחק מהמטען במקום r). כלומר, כאשר המוט קצר מאוד ביחס למרחק הנקודה ממנו, ניתן, בקירוב טוב, להתייחס למוט הקצר כאילו היה מטען נקודתי.

סיכום

לסיכום פרק זה נציין שכפי שראינו בפרק הקודם, היכולת לחשב את הפוטנציאל החשמלי של גוף נותנת לנו את היכולת למצוא את הפרש הפוטנציאלים החשמלי הנוצר בין שני גופים טעונים חשמלית. על-ידי מציאת הפרש הפוטנציאלים החשמלי שבין שני הגופים ,הנקרא מתח חשמלי, נוכל ללמוד על תכונה חשמלית חשובה נוספת של גופים מוליכים – תכונת הקיבול המטען החשמלי שלהם.

על תכונה חדשה זו נלמד מייד בחלק הבא הדן בקבל החשמלי.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - חשמל | הפוטנציאל החשמלי והמתח החשמלי : אנרגיה פוטנציאלית חשמלית | פוטנציאל חשמלי | מתח חשמלי | משטחים שווי פוטנציאל | הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי | מתח חשמלי בתוך שדה חשמלי אחיד | הפוטנציאל החשמלי שיוצרים גופים שונים | סיכום ]