השדה האלקטרומגנטי - חלק ב

השדה המגנטי של תילים שונים

בפרק הקודם הכרנו את חוק ביו-סבר שהגדיר את המשוואה לחישוב השדה המגנטי שנוצר ליד תיל מוליך זרם כלשהו,

B = μ₀ / (4π) ∙ ∫ I sinα / r² dL

בפרק שלפניו הכרנו את חוק אמפר שהגדיר דרך נוספת לחישוב השטף המגנטי,

∫ B dL = μ0 ∙ Σ I_i

בפרק זה נשתמש כל פעם במשוואה המתאימה לחישוב השדה המגנטי הנוצר ליד צורות תילים שונות. לרוב נשתמש בחוק ביו-סבר. חוק אמפר מתאים לשימוש רק במקרים מיוחדים כפי שנראה בהמשך.

השדה המגנטי הנוצר במרכז כריכה מעגלית

עבור כריכה מעגלית אחת ברדיוס R נשים לב לעובדות הבאות:
• כל מקטע dL קטן על היקף המעגל הוא אנכי לאמצע המעגל (α=90°)
• כל התרומות נמצאות במרחק קבוע R מנקודת מרכז המעגל
• סכום אורכי כל התרומות שווה לאורך היקף המעגל 2πR

לכן במקרה זה קל יהיה להשתמש בחוק ביו-סבר,

B = μ₀ / (4π) ∙ ∫ I sinα / r² dL

נציב את כל הידוע לנו,

sinα = sin90° = 1
r = R
∫dL = 2πR

ונקבל,

B = μ₀ / (4π) ∙ I / R² ∙ 2πR
B = μ₀ I / (2R)

השדה המגנטי הנוצר בנקודה כלשהי על ציר מרכז כריכה מעגלית

נשים לב לשני שינויים במקרה זה לעומת המקרה הקודם.

שדה מגנטי על ציר מרכז כריכה מעגלית

שינוי ראשון הוא שכל מקטע dL אינו יוצר עוד ווקטור של שדה מגנטי האנכי לנקודת החישוב של השדה המגנטי. במקום זאת מתקבל ווקטור בזווית α ביחס לציר הסימטריה האנכי למרכז הכריכה (ציר y). ווקטור זה ניתן לפרק לשני רכיבים: רכיב אחד בציר y ורכיב שני בציר x. נשים לב לעובדה, שבזכות הסימטריה, כל הרכיבים בציר x הנוצרים מחצי מעגל אחד מתבטלים על-ידי רכיבים בציר x הופכיים להם מחצי המעגל השני.

נשארנו, אם כן, רק אם התרומות By הנובעות מכל מקטעי dL על היקף הכריכה ורק אותן עלינו לסכם יחד. ההתחשבות בעובדה זו כבר נמצאת למעשה במשוואה של ביו-סבר – זוהי המכפלה בסינוס הזווית α שבין ווקטור השדה המגנטי שנוצר לציר הסימטריה שעליו נמצאת הנקודה בה אנו רוצים לחשב את השדה המגנטי.

סינוס הזווית α ניתן לחישוב לפי,

sin α = R / r

שינוי שני הוא שבניגוד למקרה הקודם, כאן המרחק r של כל מקטע dL אינו הגודל הקבוע R אלא הגודל הקבוע,

r = √(R² + y²)

האינטגרל הקווי הסגור נשאר ללא שינוי והוא היקף הכריכה,

∫dL = 2πR

נציב את שלושת הביטויים במשוואה של חוק ביו-סבר ונקבל,

B = μ₀ / (4π) ∙ ∫ I sinα / r² dL
B = μ₀ I / (4π) ∙ R /√(R² + y²) ∙ 1 / (R² + y²) ∙ 2πR
B = μ₀ I R² / (2∙(R² + y²)^3/2)

נשים לב שעבור המקרה הפרטי בו הנקודה נמצאת במישור של הכריכה, כלומר y=0, נקבל תוצאה זהה לחישוב השדה המגנטי שקיבלנו קודם עבור מרכז כריכה מעגלית אחת,

B = μ₀ I R² / (2∙(R² + 0²)^3/2)
B = μ₀ I R² / (2R³)
B = μ₀ I / (2R)

השדה המגנטי הנוצר במרכז סליל אינסופי

כדי שנוכל להשתמש בחוק אמפר, השדה המגנטי חייב להיות אחיד לאורך כל המסלול ההיקפי הסגור או רק במקטע בו כששאר המקטעים הם בעלי שדה מגנטי אפס או ניצב להם בכיוונו.

זהו בדיוק המקרה של סליל אינסופי. מכיוון שהסליל הוא אינסופי השדה המגנטי הנוצר בו הוא אחיד לכל אורך הסליל וקווי השדה מקבילים אליו.

נבנה מסלול אינטגרל מלבני סביב מספר לולאות בצד אחד של הסליל.

שדה מגנטי במרכז סליל אינסופי

לאורך המקטע ab השדה המגנטי הוא אחיד ואילו לאורך שאר המקטעים השדה המגנטי הוא או ניצב לאוכם הוא שווה לאפס. לכן ניתן להשתמש כאן עבור הלולאה הסגורה הנבחרת בחוק אמפר.

נזכיר שלפי חוק אמפר והגדרת השטף המגנטי מתקבלת המשוואה,

∫ B dL = μ₀ ∙ Σ I_i

האינטגרל המלבני הקווי שווה ל-

∫ B dL = ∫_a→bB dL + ∫_b→cB dL + ∫_c→dB dL + ∫_d→aB dL

חישוב אינטגרל מנקודה b לנקודה c נותן תוצאה אפס, מכיוון שהשדה המגנטי ניצב לאורך כל מסלול מקטע זה. אותה תוצאה מתקבלת גם בחישוב האינטגרל מנקודה d לנקודה a.

חישוב האינטגרל מנקודה c לנקודה d גם נותן תוצאה אפס, כי לאורך מקטע זה אין כלל שדה מגנטי.

נשארנו רק עם האינטגרל על המקטע הראשון (מ-a ל- b). לאורך מקטע זה קיים שדה מגנטי וקווי השדה שלו אינם ניצבים למסלול. למעשה, קווי השדה מקבילים למסלול, אין ביניהם כל זווית, לכן המכפלה הווקטורית ביניהם הופכת לפעולת כפל פשוטה. נקבל,

∫ B dL = BL

בתוך המסלול המלבני ששרטטנו כלוא מספר N לא ידוע של כריכות. לכן סכום הזרמים הכלואים הוא,

Σ I_i = N I

נציב את כל הנתונים הללו ונקבל,

B L = μ₀ N I

B = μ₀ (N/L) I

הגודל N/L הוא מקדם הצפיפות של הסליל ושווה למספר הסלילים ליחידת אורך אחת. מקובל לסמן גודל זה באות n (כדי שלא להתבלבל בין מקדם הצפיפות למספר הכריכות נסמן את n של מקדם הצפיפות עם קו תחתי - n). נקבל שהשדה המגנטי בסליל אינסופי הוא,

B = μ₀ n I

השדה המגנטי במרכז סליל סופי בעל n כריכות

הסליל מכיל n כריכות ברדיוס R הנפרסות למרחק L (הפעם L מייצג את אורך הסליל ולא את אורך התיל המסולסל!). במקרה זה של סליל סופי לא מתקבל שדה אחיד בתוך הסליל, לכן לא נוכל להשתמש כאן בחוק אמפר.

דרך פיתוח המשוואה במקרה זה מסובכת מידי וחורגת מתחום הלימוד. נציג רק את התוצאה הסופית שהינה המשוואה לחישוב עוצמת השדה המגנטי באמצע הסליל,

B = μ₀ n I / √(L² + 4R²)

משוואה זו מתיישבת עם התוצאות האחרות שקיבלנו.

למשל, עבור כריכה בודדת, n=1 ו- L=0, נקבל את המשוואה הבאה,

B = μ₀ n I / √(L² + 4R²)
B = μ₀∙1∙I / √(0² + 4R²)
B = μ₀ I / √(4R²)
B = μ₀ I / (2R)

עבור המקרה של סליל אינסופי, כלומר L>>R ו- n=N, נקבל את המשוואה הבאה,

B = μ₀ n I / √(L² + 4R²)
B ≈ μ₀ N I / √(L²)
B ≈ μ₀ (N/L) I
B ≈ μ₀ n I

השדה המגנטי הנוצר בתוך תורואיד

התורואיד הינו סליל המעוצב לכדי צורה מעגלית.

תורואיד

את השדה המגנטי שבתוך התורואיד נוכל לחשב בעזרת חוק אמפר.

נשים לב, שבכל הלולאות הזרם החשמלי זורם באותו הכיוון.

המסלול ההיקפי הסגור שנבחר בו הוא מעגל ברדיוס R. מסלול זה כולא בתוכו את כל N הכריכות שבהן זורם זרם חשמלי I.

מכאן נקבל את המשוואה הבאה מחוק אמפר,

∫ B dL = μ₀ ∙ Σ I_i
∫ B dL = μ₀ ∙ NI

כדי שהאינטגרל הקווי הסגור יהיה פתיר בצורה קלה נדרש שהשדה המגנטי B יהיה אחיד ומקביל למסלול L או רק לאורך מקטע בו כששאר המקטעים הם בעלי שדה מגנטי אפס או שדה מגנטי הניצב להם בכיוונו.

במקרה של התורואיד ניתן לראות שכיוון השדה המגנטי בכל נקודה לאורך המסלול הוא בכיוון המסלול עצמו (קווי השדה המגנטי בתורואיד הם מעגליים).

כיוון השדה המגנטי בתורואיד

כלומר, השדה המגנטי B מקביל למסלול L, הזווית ביניהם היא אפס ולכן ניתן לפשט את המכפלה הווקטורית ביניהם ל-

∫ B dL =
∫ B ∙ dL cos0° =
∫ B dL =
B ∫ dL =
B 2πR

נציב את התוצאה שקיבלנו ונקבל,

B 2πR = μ₀ ∙ NI
B = μ₀ NI / 2πR

מחוץ לחלל הכלוא על-ידי התורואיד השדה המגנטי הוא זניח ושואף לאפס.

השדה המגנטי הנוצר בקרבת תיל מוליך ישר ארוך (אינסופי)

מכיוון שהתיל באורך אינסופי וסימטרי משני צידי הנקודה בה נמדד השדה המגנטי, נחשב את התרומה של החלק העליון של התיל בלבד ונכפילה פי שניים כדי לקבל את השדה המגנטי הכולל.

שדה מגנטי בקרבת תיל מוליך ארוך

נשתמש בחוק ביו-סבר ונוציא מתוך האינטגרל את כל המשתנים שאינם תלויים במקטע dL. חישוב האינטגרל הוא לפי אורכי המקטעים dL ומיקומם על התיל.

גם הזווית α תלויה במיקום המקטע dL וכך גם המרחק r של המקטע מהנקודה בה אנו מחשבים את B. רק הזרם החשמלי I הזורם בכל המקטעים dL שווה בגודלו בכולם, אינו תלוי במיקום המקטע או באורכו וניתן להוציאו מן האינטגרל. נקבל שהמשוואה לחישוב השדה המגנטי בחצי התיל העליון, אותו נסמן B½, היא,

B_½ = μ₀ / (4π) ∙ I ∫ sinα / r² dL

נמצא כעת את התלות בין מיקום המקטע dL על התיל ובין הזווית α והמרחק r.

קודם נבטא את r כתלות בזווית α,

sinα = R / r
r = R / sinα

ולכן הביטוי שבתוך האינטגרל הופך להיות,

sinα / r² dL = sin³α / R² dL

נשנה את האינטגרל להיות לפי הזווית α במקום לפי מיקום המקטע. לשם כך נמצא קשר בין מיקום המקטע L לזווית α (שאינו תלוי ישירות ב- r),

tanα = R / L
L = R / tanα = R cotα

נבצע גזירה על שני האגפים של המשוואה ונקבל,

dL = -R / sin²α dα

נציב את dL בביטוי שבתוך האינטגרל שמצאנו קודם ונקבל שהביטוי בתוך האינטגרל החדש על הזווית α הוא,

sin³α / R² ∙ (-R / sin²α dα)
-sinα / R dα

גבולות האינטגרל החדש לפי αהן מזווית של כמעט °90 (כאשר L שואף לאפס) עד לזווית של כמעט 0° (כאשר L שואף לאינסוף). נציב את הביטוי החדש של האינטגרל ואת גבולותיו במשוואה לחישוה השדה המגנטי ונקבל,

          _0°
B_½ = μ₀ / (4π) ∙ I ∫ -sinα / R dα
          ^90°

B_½ = μ₀ / (4π) ∙ I / R ∙ [cos0° - cos90°]

B_½ = μ₀ / (4π) ∙ I / R

B_½ = μ₀ I / (4πR)

והשדה המגנטי הכולל שנוצר מהחצי העליון של התיל והחצי התחתון שלו הוא,

B = μ₀ I / (2πR)

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - מגנטיות | השדה האלקטרומגנטי (חלק ב) : שטף מגנטי | חוק אמפר | חוק ביו-סבר | השדה המגנטי של תילים שונים | ההגדרה של יחידת הזרם - אמפר | הקשר בין מגנט קבוע למטען חשמלי נע | סיכום ]