נוסחת העדשה

נוכחנו כבר לדעת שעבור מראה כדורית ניתן להגדיר בנוסחה אחת את התלות שבין מרחק מוקד העדשה, מרחק העצם ומרחק הדמות הנוצרת. אך האם קיימת נוסחה דומה גם עבור העדשה?

נוכל למצוא בדרך חישוב מקורבת את הנוסחה המגדירה את הקשר בין שלושת הגדלים המוזכרים לעיל. לשם כך ניעזר באיור הבא של העדשה הקמורה,

עדשה קמורה

נעיר שההוכחה שלפנינו משתמשת במבנה של עדשה קמורה, אך ניתן באותו אופן להוכיח את נכונותה גם עבור עדשה קעורה.

נניח כי מדובר בעדשה דקה מאוד כך שניתן בקירוב טוב להחליפה במנסרה בעלת זווית ראש, γ, קטנה מאוד. במקרה זה ידועה הנוסחה הבאה עבור מנסרה,

δ = (n-1)γ

להמשך החישוב ניעזר בשרטוט שלעיל ונערוך את ההוכחה ההנדסית הבאה,

טענה	נימוק
(1) ‹MP1P3=90°	C2P1 הוא רדיוס המעגל אשר P1M משיק לו
(2) ‹MP2P3=90°	C1P2 הוא רדיוס המעגל אשר P2M משיק לו
(3) ‹MP1P3 + ‹MP2P3 + γ + ‹P1P3P2 = 360°	סכום זוויות במרובע MP1P3P2
(4) ‹P1P3P2 + γ = 180°	חישוב מטענות 1-3
(5) ‹C2P3P2 + ‹P1P3P2 = 180°	זוויות משלימות מאותו צד של הישר
(6) ‹C2P3P2 = γ	מטענות 4-5

כעת, מכיוון שמדובר בעדשה דקה מאוד יחסית למרחקים הגדולים של העצם ושל הדמות ממנה, הרי שנוכל להניח בקירוב טוב שהנקודות P₁, P₂ ו- P₃ מתלכדות לנקודה אחת P. האיור הבא ממחיש זאת,

קירוב עבור עדשה דקה

עבור עדשה דקה נקבל שהזוויות c₁ ו- c₂ קטנות מאוד. עבור זווית קטנה ידוע שטנגס הזווית שווה בקירוב לערך הזווית עצמה (ברדיאנים). לכן נקבל,

tan c₁ = h/R₁ => c₁ = h/r₁
tan c₂ = h/R₂ => c₂ = h/r₂

הזווית γ היא זווית חיצונית למשולש C₁PC₂ ולכן היא שווה לסכום הזוויות c₁ ו- c₂,

γ = c₁ + c₂ = h•(1/r₁ + 1/r₂)

עבור קרן אור העוברת קרוב למרכז העדשה נקבל שהזוויות α ו- β קטנות מאוד. גם עבורן טנגס הזווית שווה בקירוב טוב לערך הזווית עצמה (ברדיאנים). לכן נקבל,

tan α = h/u => α ≈ h/u
tan β = h/v => β ≈ h/v

הזווית δ היא זווית חיצונית למשולש APB ולכן שווה לסכום הזוויות α ו- β,

δ = α + β = h•(1/u + 1/v)

נוכל להציב את ערכי γ ו- δ בנוסחת המנסרה ונקבל,

δ = (n-1)•γ
h•(1/u + 1/v) = (n-1)•h•(1/r₁ + 1/r₂)
1/u + 1/v = (n - 1)•(1/r₁ + 1/r₂)

הביטוי שבאגף הימני שבמשוואה שלעיל תלוי בעדשה עצמה: במנת השבירה שלה וברדיוסי העקמומיות שיצרו אותה. ביטוי זה נסמן בקיצור על-ידי הגודל 1/f כאשר f הוא מרחק מוקד העדשה. כך נקבל עבור העדשה משוואה הזהה למשוואת המראה הכדורית,

1/u + 1/v = 1/f

ההבדל היחיד בין שתי המשוואות הוא בדרך החישוב של הגודל f!

עבור עדשה קעורה נקבל את אותה משוואה כמו זו שהתקבלה עבור עדשה קמורה, אך עם הבדל אחד קטן. עבור עדשה קעורה הרדיוסים היוצרים הם בעלי ערך שלילי, לכן המשוואה עבור עדשה קעורה תהיה מהצורה,

1/u + 1/v = -1/f

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אופטיקה גיאומטרית | אופטיקה גיאומטרית - עדשות : סוגי עדשות | נוסחת העדשה | מרכז אופטי של העדשה | שרטוט תמונה בעדשה | אזורי מיקום עצם ביחס לעדשה | עוצמת העדשה | מערכת עדשות צמודות ]