יחס הגדלה במראה כדורית

במראה ישרה התקבלה דמות דמיונית הזהה בגודלה לגודל דמות העצם המקורי, כפי שהוא נצפה בהתאם למרחקו מהמראה. במראה כדורית מתקבל גודל דמות שונה. היחס בין הדמות הנוצרת על-ידי המראה הכדורית ובין הדמות המקורית נקרא יחס ההגדלה. יחס ההגדלה גדול מאחד עבור מראה קמורה וקטן מאחד (ולכן, הוא יחס הקטנה) עבור מראה קעורה.

נמצא את הנוסחה לחישוב יחס ההגדלה עבור מראה קעורה, אך כפי שנראה בהמשך הנוסחה תהיה נכונה גם עבור מראה קמורה.

נמקם עצם בנקודה A שעל ציר המראה. קרן אור היוצאת מנקודה A פוגעת במראה בנקודה N, מוחזרת ממנה וחותכת את ציר המראה בנקודה B, בנקודה בו נוצרת השתקפות הדמות ממרכז המראה. במראה קעורה הדמות שנוצרת היא דמות ממשית, כלומר, אם נניח מסך בנקודה B נקבל עליו תמונה ממשית של העצם.

יחס ההגדלה

נחבר את נקודת הפגיעה N עם מרכז המראה C. הקו NC הוא אנך למשיק למעגל בנקודה N, לכן הוא גם האנך היוצר את זווית הפגיעה וזווית ההחזרה. מכאן שבמשולש ABN הקטע NC חוצה את הזווית ‹ANB.

בעזרת משפט תאלס הידוע מגיאומטריה נקבל את היחס הבא,

AC / BC = AN / BN

עבור נקודה N הקרובה לנקודה O נקבל ש-

AN = AO
BN = BO

נציב ונקבל,

AC / BC = AO / BO

את מרחק העצם מהעדשה, AO, נסמן בעזרת האות u.
את מרחק הדמות הנוצרת, BO, נסמן בעזרת האות v.

את הקטעים AC ו- BC נייצג בעזרת u, v ומרחק מרכז המראה, r.

AC = AO - CO = u - r
BC = CO - BO = r - v

נציב משוואות אלו במשוואת היחס האחרונה ונקבל,

(u - r) / (r - v) = u / v

נפתח את המשוואה ונקבל,

uv - rv = ru - uv
ru + rv = 2uv
1/v + 1/u = 2/r

נזכיר שכבר מצאנו ש-

r = 2 f

מכאן נקבל את המשוואה הבאה,

1/v + 1/u = 1/f

זוהי משוואת המראה המגדירה את התלות בין מוקד המראה, מיקום העצם ומיקום הדמות הנוצרת.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אופטיקה גיאומטרית | אופטיקה גיאומטרית - מראה כדורית : הגדרת מראה כדורית | מוקד המראה הכדורית | יחס ההגדלה במראה הכדורית | אזורי מיקום עצם ביחס למראה הכדורית | מראה כדורית קמורה ]