תנועה שוות תאוצה

תאוצה

כאשר מתחילים להפעיל כוח על גוף הנמצא במצב מנוחה הוא מתחיל לנוע. למשל, כדור הנבעט בהפעלת כוח פתאומית, מכונית המתחילה לנסוע ממקום החנייה וכדומה. בהשפעת הכוח הגוף משנה את מהירותו. השינוי יכול להיות ממצב מנוחה כמו בדוגמאות הקודמות או שינוי מהירות של גוף שכבר נמצא בתנועה. השינוי יכול להיות הגדלה של המהירות או הקטנתה.

כאשר מהירות הגוף הולכת וגדלה עם הזמן נאמר שהגוף מאיץ או נע בתאוצה. התאוצה היא גודל המתאר את מידת שינוי המהירות. התאוצה נמדדת כגודל השינוי של המהירות ליחידת זמן. את התאוצה, שמקובל לסמן באות a, נחשב לפי הנוסחה הבאה,

פרק-זמן / שינוי במהירות = תאוצה

a = Δv / Δt = (v - v₀) / (t - t₀)

כאשר t₀ = 0 נקבל את המשוואה,

a = (v - v₀) / t

הגרף לדוגמה הבא מתאר תנועה שוות תאוצה:

גרף מהירות שוות תאוצה כפונקציה של הזמן

דוגמה 1

מכונית הנמצאת במנוחה מתחילה לנוע ואחרי שנייה אחת מהירות נסיעתה היא 5 מטר לשנייה. איזו תאוצה הייתה למכונית במהלך שנייה זו?

מהירות המכונית גדלה מאפס ל- 5 מטר לשנייה תוך שנייה אחד לכן תאוצתה ביחידות של מטר לשנייה היא,

a = (v - v₀) / t

a = (5 - 0) / (1 - 0) = 5

נשים לב שיחידות התאוצה הן מהירות ליחידת-זמן. המהירות עצמה היא ביחידות של מרחק ליחידת-זמן, לכן מתקבל שהתאוצה היא ביחידות של מרחק ליחידת-זמן ליחידת-זמן. יחידת-הזמן השנייה זהה ליחידת הזמן הראשונה.

דוגמה 2

רכבת נוסעת לאט על גשר ישן במהירות של 60 קמ"ש. מיד לאחר רדתה מן הגשר מאיצה הרכבת באופן קבוע את מהירותה למשך 15 דקות כך שמהירותה בתום ההאצה היא 90 קמ"ש. מה הייתה מידת ההאצה של הרכבת?

המהירות נתונה ביחידות של ק"מ לשעה, לכן נמיר את משך זמן ההאצה ליחידות של שעה,

15[min] = 15/60 [hour] = 1/4[hour]

מידת ההאצה של הרכבת ביחידות של קמ"ש לדקה היא,

a = (v - v₀) / t

a = (90 - 60) / 1/4 = 30 • 4 = 120

כלומר, הרכבת הגדילה את מהירותה ב- 120 קמ"ש לשעה, כך כל דקה במשך 15 דקות רצופות.

כלומר, הרכבת הגדילה את מהירותה בקצב של 120 קמ"ש לשעה, אבל רק למשך 15 דקות בלבד שהן רבע שעה. לכן מהירותה גדלה בעצם רק בחלק היחסי של רבע מ- 120 קמ"ש, שהם 30 קמ"ש.

חישוב מהירות סופית

מהירות בתאוצה קבועה היא מהירות בעלת קצב גידול אחיד וקבוע בגודלו. קצב גידול אחיד, או תאוצה קבועה, משמעו שבפרקי זמן שווים באורכם גדלה המהירות באותו ערך.

מתוך ידיעת גודל התאוצה, משך זמן ההאצה והמהירות ההתחלתית ניתן למצוא את המהירות הסופית אליה יגיע הגוף הנע. נסביר את הדרך בה ניתן להגיע לנוסחה המחשבת את המהירות הסופית של גוף מאיץ,

a = (v - v₀) / (t - t₀)

a (t -t₀) = v - v₀

v = v₀ + a (t - t₀)

כאשר t₀ = 0 נקבל את המשוואה,

v = v₀ + a t

דוגמה 1

מטוס נוסע על מסלול ההמראה במהירות של 60 קמ"ש ומאיץ בתאוצה של 3000 קמ"ש לשעה. מהי מהירותו כעבור 2 דקות של האצה?

תאוצת המטוס היא 3000 קמ"ש לשעה. נמצא את מהירות המטוס בתום ההאצה ביחידות של קמ"ש,

v = 60 + 3000 • 2/60 = 160

דוגמה 2

רכבת הנמצאת במצב עצירה מתחילה לנוע בתאוצה של 2 מטר לשנייה בשנייה. כלומר בכל שנייה גדלה מהירות הרכבת ב-2 מטר לשנייה. מה תהיה מהירות הרכבת אחרי שנייה אחת? אחרי שתי שניות? אחרי 10 שניות?

במצב ההתחלתי מהירות הרכבת היא אפס, כי הרכבת נמצאת במצב עצירה. אחרי שנייה אחת של תנועה בתאוצה גדלה מהירות הרכבת ב- 2 מטר לשנייה. לכן מהירותה אחרי שנייה אחת של האצה היא 2 מטר לשנייה.

כעבור שנייה נוספת תגדל מהירות הרכבת באותו ערך גדילה כבשנייה הראשונה. כלומר, מהירות תנועתה תגדל ב- 2 מטר לשנייה נוספים על המהירות 2 מטר לשנייה שהיא כבר צברה. כך נקבל שבתום שתי שניות מהרכבת כבר תנוע במהירות של 4 מטר לשנייה.

מסקנה: תאוצת הרכבת מוגדרת כ-2 מטר לשנייה בשנייה. לכן בכל שנייה מוסיפה הרכבת למהירות ערך מהירות של 2 מטר לשנייה.

אחרי עשר שניות תוסיף הרכבת עשר פעמים גודל מהירות של 2 מטר לשנייה. לכן, מהירות הרכבת אחרי עשר שניות של האצה ביחידות של מטר לשנייה היא,

v = v₀ + a t = 0 + 2•10 = 20

דוגמה 3

לשם הסבר נוסף לגבי ההבדל בין יחידת הזמן הראשונה ליחידת הזמן השנייה בגודל של תאוצה ניעזר בדוגמה הבאה.

מכונית נמצאת במצב עצירה בצומת מרומזרת. ברגע שהאור ברמזור מתחלף מאדום לירוק מתחילה המכונית את נסיעתה בתאוצה קבועה של 5 קמ"ש לשנייה. כלומר, כל שנייה שחולפת מהירות המכונית גדלה ב- 5 קמ"ש נוספים. תוך כמה זמן תהיה מהירות המכונית 90 קמ"ש?

תאוצה של 5 קמ"ש לשנייה ביחידות של קמ"ש לשעה היא,

5•360 = 1800

נחשב את הזמן הנדרש,

v = v₀ + a t

90 = 0 + 1800•t

t = 0.05

תוך 0.05 שעה, שהן 18 שניות תגיע המכונית למהירות של 90 קמ"ש.

כעת נניח שהמכונית מאיצה בקצב של 5 קמ"ש לשעה. כלומר, כל שעה (במקום כל שנייה) גדלה מהירותה ב- 5 קמ"ש. בנתונים אלו המכונית תגיע למהירות של 90 קמ"ש רק אחרי 18 שעות של האצה!

חישוב דרך

מתוך ידיעת גודל התאוצה, משך זמן ההאצה והמהירות ההתחלתית ניתן למצוא את הדרך שעבר הגוף בתנועתו בעלת התאוצה. נסביר את הדרך בה ניתן להגיע לנוסחה המחשבת את המרחק שעבר הגוף מאיץ ממקומו ההתחלתי. נתחיל בנוסחה הפשוטה לחישוב מרחק מתוך ידיעת המהירות ומשך זמן התנועה,

s = v•t

במהירות בעלת תאוצה המהירות בתחילת פרק זמן התנועה שונה מהמהירות בסוף פרק זמן התנועה. המהירות משתנה באופן קבוע ורציף לכן נוכל לחשב את המהירות הממוצעת בפרק זמן זה מתוך ידיעת המהירות ההתחלתי והמהירות הסופית. המהירות הממוצעת היא,

½•(v + v₀)

נציב את המהירות הממוצעת בנוסחה לחישוב המרחק ונקבל,

s = ½•(v + v₀)•t

נציב במקום v₀ את הנוסחה לחישובו,

s = ½[v₀ + a•(t - t₀) + v₀]•t

s = v₀•t + ½•a•t•(t - t₀)

כאשר t₀ = 0 נקבל את המשוואה,

s = v₀t + ½ a t²

דוגמה

משאית הנוסעת במהירות של 60 קמ"ש מאיצה במשך 10 דקות נסיעה ומגיע למהירות סופית של 90 קמ"ש. לאורך איזה מרחק האיצה המשאית את נסיעתה עד שהגיע למהירותה הסופית?

נחשב קודם את מידת התאוצה של המשאית ביחידות של קמ"ש לשעה,

a = (v - v₀) / t = (90 - 60) / (10/60) = 180

נשים לב שבחרנו להציג את התאוצה ביחידות של קמ"ש לשעה כדי להתאים עם פרק הזמן של יחידת המהירות שהיא לפי משך זמן של שעה (ק"מ לשעה).

כעת נמצא מהו המרחק שעברה המשאית במשך 10 דקות של נסיעה בתאוצה שלעיל. את משך זמן הנסיעה של 10 דקות נמיר ליחידת זמן של שעה, נקבל משך זמן של 10/60 שעה. נציב ונקבל,

s = 60•(10/60) + ½•180•(10/60)² = 10 + 2.5 = 12.5

תאוטה

גודל התאוצה יכול לקבל גם ערך שלילי. משמעות של תאוצה בעלת ערך שלילי היא הקטנה של המהירות לפרק זמן מוגדר במקום הגדלה שלה. כלומר, במקום תאוצה של מהירות התנועה נקבל תאוטה של מהירות התנועה. כל הנוסחאות שנידונו עבור תאוצה תקפות גם עבור מקרה של תאוצה.

דוגמה 1

רכבת הנוסעת במהירות של 45 מטר לשנייה מתחילה להאט לקראת הגעתה לרציף התחנה. מהו קצב התאוטה של הרכבת אם משך זמן ההאטה הנדרש לה עד לעצירה מוחלטת הוא 5 דקות? כמה ק"מ לפני התחנה מתחילה הרכבת בהאטת מהירות נסיעתה?

המהירות ההתחלתית של הרכבת היא 45 מטר לשנייה ומהירותה הסופית היא אפס. נמצא את תאוצתה לפי הנוסחה הבאה,

a = (v - v₀) / t

a = (0 - 45) / (5•60) = 0.15

הרכבת מאיטה את מהירותה בקצב של 0.15 מטר לשנייה.

כעת נמצא את המרחק שעוברת הרכבת עד לעצירה המוחלטת בתחנה.

s = ½(v + v₀)t

s = ½(0 + 45)•(5•60) = 6

הרכבת מתחילה להאט את מהירות נסיעתה 6750 מטר לפני הגעתה לתחנה.

דוגמה 2

מטוס הנמצא בשלב נחיתה נוסע על מסלול הנחיתה במהירות של 1000 מטר לשנייה. המטוס מתחיל להאט בקצב האטה אחיד של 80 מטר לשנייה. תוך כמה זמן תגיע מהירות המטוס למהירות של 600 מטר לשנייה? למהירות של 400 מטר לשנייה?

v = v₀ + at

600 = 1000 + (-80)t

t = 5

כעבור 5 שניות מהירות המטוס תרד ל- 600 מטר לשנייה.

v = v₀ + at

400 = 1000 + (-80)t

t = 7.5

כעבור 7.5 שניות מהירות המטוס תרד ל- 400 מטר לשנייה.

תאוצה רגעית

התאוצה הרגעית היא ערך התאוצה ברגע t מסוים. את התאוצה הרגעית ניתן למצוא מתוך ערך הנגזרת של המהירות ברגע t מסוים.

a(t) = lim (Δv(t) / Δt) = dv(t) / dt = v(t)’
^Δt→0                                     

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - מכניקה | מכניקה - קינמטיקה : תנועה ומהירות | תנועה במהירות קבועה | פירוק והרכבת ווקטור המהירות | תנועה שוות תאוצה | מהירות יחסית | קבוע הכבידה העולמי | כוח הכבידה של כדור-הארץ | נפילה חופשית | זריקה אנכית | זריקה אופקית | זריקה משופעת | תנועה סיבובית ]