תנועה מעגלית

בפרקים הקודמים תיארנו סוגי מהירויות שונים עבור תנועה בה הגוף נע, משנה את מיקומו ומתקדם במרחב. תנועה מסוג זה מקובל לכנות בשם תנועה מתקדמת. קיים סוג נוסף של תנועה, אשר בה הגוף נע במהירות ובכל-זאת אינו מתקדם במרחב באופן חופשי, אלא מסתובב סביב ציר נתון וחוזר למקומו הראשוני בתוך פרק זמן קצוב. תנועה מסוג זה מקובל לכנות בשם תנועה סיבובית ובה נדון בפרק זה.

קיימות אינספור דוגמאות לתנועה סיבובית, גם בעולם הטבע וגם בעולם הטכנולוגיה והתעשייה. בטבע נמצא את התנועה הסיבובית בתנועת גרמי השמיים. הירח סובב סביב כדור-הארץ, כדור-הארץ סובב סביב עצמו וסביב השמש. האלקטרונים נעים בתנועה מעגלית סביב גרעין האטום. גלגל הטחנה מסתובב סביב ציר. גלגלי השיניים במערכת תנועה מכאנית נעים בתנועה מעגלית ועוד.

בתנועה סיבובית הגוף נע סביב קו ציר ומשלים בפרק זמן סופי סיבוב שלם המחזיר אותו למקומו הראשוני. פרק הזמן הנדרש לגוף להשלים סיבוב אחד ולחזור למיקומו הראשוני נקרא מחזור. אם תנועת הגוף הינה קצובה, כך שמשך הזמן של כל מחזור סיבוב הוא שווה וקבוע, אזי התנועה היא תנועה סיבובית מחזורית או בקיצור תנועה מחזורית. את פרק הזמן של מחזור אחד נסמן באות T.

מהירות קווית

מסלול של תנועה מחזורית פשוטה ונפוצה הוא מסלול מעגלי. במסלול מעגלי הדרך שעובר הגוף במשך זמן מחזור אחד T הוא אורך היקף המסלול המעגלי. עבור מסלול מעגלי שרדיוסו R נקבל שהדרך היא,

s = 2 π R

מהירות התנועה של הגוף היא הדרך שהוא עובר מחולק במשך הזמן הנדרש לכך. נקבל שמהירות הגוף היא,

v = s / T
v = 2 π R/T

דוגמה לגוף הנע בתנועה סיבובית הוא אבן הקשורה בחוט ומסובבת באוויר בכוח התנועה הסיבובית של היד.

באם נשחרר את הגוף ברגע מסוים מהמסלול המעגלי בו הוא נתון ינוע הגוף בקו ישר במהירות זו. למשל, עבור הדוגמה הקודמת, אם נשחרר את האחיזה של החוט הקשורה לאבן, אז תעוף האבן בקו ישר. מסיבה זו קרויה מהירות זו המהירות הקווית של התנועה הסיבובית.

אם משך הזמן להשלמת מחזור אחד הוא T שניות, אזי נקבל שמספר המחזורים המתבצעים בשנייה אחת הוא,

f = 1 / T

מספר המחזורים בשנייה אחת נקרא תדירות התנועה והוא מסומן באות f. נציב את ערכו של f במשוואת המהירות ונקבל,

v = 2 π R f

ברוב הפעמים יהיה ידוע מספר הסיבובים בדקה ולא בשנייה. במקרה זה נצטרך למצוא את ערכו של f כמספר סיבובים בשנייה על-ידי חלוקת מספר הסיבובים בדקה במספר 60 שניות בדקה,

f [sec] = f[min.] / 60

מהירות זוויתית

כאשר גוף נע סביב ציר בתנועה מעגלית מהירותו הקווית תלויה במרחקו R מציר הסיבוב. נקודה על הגוף הקרובה יותר למרכז המעגל עוברת מרחק היקפי קצר יותר מאשר נקודה על הגוף הרחוקה יותר ממרכז המעגל. אך שתי הנקודות משלימות מחזור שלם של תנועה באותו פרק זמן T.

שתי נקודות במרחקים שונים מציר הסיבוב

מתקבל שלכל נקודה על הגוף יש מהירות קווית שונה בהתאם למרחקה מציר הסיבוב. באיור שלעיל, הנקודה שנעה במעגל הכחול עוברת דרך קצרה בחצי מהנקודה החיצונית יותר שנעה במעגל האדום.

למשל, נבחן שתי נקודות על דיסקה מסתובבת. עם השלמת רבע מחזור של סיבוב שלם מבצעת הנקודה החיצונית יותר קשת ארוכה יותר מהנקודה הפנימית יותר. זאת למרות ששתיהן נעו והסתובבו במשך אותו הזמן. מתקבל שלשתי הנקודות מהירות קווית שונה.

מהירות קווית של שתי נקודות על דיסקה מסתובבת

המהירות הקווית השונה מקשה על ביצוע השוואה נכונה בין סיבוב דיסקה בגדלים שונים ובמהירויות שונות. מכאן עולה הצורך בהגדרת מושג מהירות חדש - המהירות הזוויתית.

אורך קשת המעגל תלויה בגודל רדיוס המעגל. במקום לחלק את אורך הקשת במשך זמן התנועה נחלק את גודל הזווית המרכזית היושבת על הקשת. הזווית המרכזית נמצא ביחס ישר לאורך הקשת, אך אינה תלויה בגודל רדיוס המעגל.

המהירות הזוויתית, אותה נסמן בעזרת האות היוונית אומגה - ω, מתקבלת מהנוסחה,

ω = α / T

α - היא הזווית המרכזית היושבת על הקשת ונמדדת ברדינאים.

תזכורת מגיאומטריה: זווית בגודל יחידה אחת של רדיאן מתקבלת כאשר אורך הקשת המוגדר על-ידי הזווית שווה לרדיוס המעגל. לשם פשטות ניתן לבחור במעגל יחידה, מעגל שרדיוסו אחד. זווית מעגל מלאה שווה לאורך הקשת במעגל היחידה, כלומר במעגל יש 2π רדיאנים. במעגל יש גם 360º, לכן נקבל,

2π [rad] = 360º
π [rad] = 180º

כדי להמיר זווית ממעלות לרדיאנים יש לחלק הזווית ב- 180 ולהכפיל ב- π.
כדי להמיר זווית מרדיאנים למעלות יש לחלק את הזווית ב- π ולהכפיל ב- 180.

עבור סיבוב מלא נקבל,

α = 2π

מספר הסיבובים בשנייה נתון מהנוסחה,

T = 1/f

נציב שתי נוסחאות אלו בנוסחה לחישוב מהירות זוויתית ונקבל,

ω = α / T

ω = 2 π f

בזכות הנוסחה האחרונה נוכל לקבל גם את הקשר בין מהירות זוויתית למהירות קווית.

v = 2 π R f

v = ω R

ω = v / R

תאוצה מרכזית

כאשר גוף מואץ (כמו תאוצת הכבידה העולמית, למשל) משנה הגוף את מהירותו. המהירות היא ווקטור המורכב מעוצמה ומכיוון. שינוי המהירות יכול להתבטא בשינוי עוצמת המהירות או בשינוי כיוון המהירות או בשניהם. למשל, בזריקה אנכית מטה משתנה רק עוצמת המהירות, בזריקה אנכית מעלה משתנה גם עוצמת המהירות וגם כיוון המהירות.

בתנועה סיבובית שוות-מהירות עוצמת המהירות הינה קבועה ורק כיוון המהירות משתנה כל הזמן. שינוי כיוון המהירות הוא שיוצר את התנועה המעגלית של הגוף. שינוי כיוון המהירות נגרם כתוצאה מהאצת הגוף. האצת הגוף משנה ללא הרף את כיוון מהירותו ומחזיקה אותו בתנועה מעגלית.

כיצד ניתן לקבוע את כיוונה ואת ערכה של האצה זו?

מכיוון שהאצה זו אינה מעלה את עוצמת המהירות, אז אין להאצה רכיב בכיוון המהירות. ההאצה אינה מורידה גם את עוצמת המהירות, לכן אין להאצה רכיב בכיוון הנגדי. מסקנה: ההאצה היא בהכרח תמיד ניצבת לכיוון התנועה. משמע, ההאצה היא ניצבת לווקטור המהירות ופונה פנימה אל עבר מרכז המעגל (גם נוכיח זאת מייד בהמשך).

כדי למצוא נוסחה המחשבת את ערכה של התאוצה ניעזר בשרטוט הבא.

חישוב התאוצה המרכזית

לולא היה הגוף מאולץ לנוע בתנועה מעגלית הוא היה ממשיך לנוע לאורך הקטע הישר במהירות המיוצגת על-ידי הווקטור v₁. אך הגוף נע בקשת מעגלית ומהירותו משתנה לווקטור המהירות v₂. הגוף עובר את קשת המעגל שבין הנקודות A ו- B. בקירוב טוב נוכל להניח שאורך הקשת AB שווה לאורך המיתר AB. כדי לחשב את התאוצה (הרגעית) בה נע הגוף נקטין את המרחק המקורב שעובר הגוף, המסומן ב- Δx, עד כמעט לערך אפס.

ככל שהמרחק קטן יותר כן הפרש המהירויות נמדד בפרק-זמן קצר יותר ולכן חישוב התאוצה יהיה מדויק יותר. הרי התאוצה מחושבת לפי הנוסחה,

a = Δv/Δt

לכן ככל שפרק-הזמן קצר יותר כך נקבל תוצאה מדויקת יותר עבור חישוב התאוצה (הרגעית).

עבור פרק-זמן קצר מאוד נקבל את השרטוט הבא בו המרחק Δx קיים אבל כבר אינו נראה,

חישוב התאוצה המרכזית בדיוק רב

מכיוון שהמרחק dx הנו אפסי בקירוב נקבל שהמשולש AED הוא משולש שווה-שוקיים (הרי גודל האורך v₁ שווה לגודל האורך v₂). במשולש שווה השוקיים AED זווית-הראש הינה קטנה מאוד, לכן שתי זוויות הבסיס הינן זוויות ישרות בקירוב. משולש ABC הנו גם משולש שווה-שוקיים (כל שוק במשולש היא רדיוס המעגל R).

שני המשולשים, AED ו- ABC, הינם משולשים דומים. מדמיון המשולשים נקבל,

ΔAED ≈ ΔABC

ED / AE = AB / AC

Δv / v₂ = Δx / R

Δv = (Δx / R) • V₂

אבל ידוע ש-

Δx = v • Δt

כאשר v במשוואה שלעיל הוא הממוצע בין v₁ ל- v₂, אך יכול להיות בקירוב טוב גם v₂ (או v₁) הרי התאוצה המרכזית אינה משנה את גודל המהירות אלא רק את כיוונה.

נציב ונקבל,

Δv = (v₂ • Δt / R) • v₂

Δv / Δt = (v₂ / R) • v₂

Δv / Δt = v₂² / R

מכאן נמצא שהתאוצה המרכזית היא,

a_centripetal = Δv / Δt = v² / R

התאוצה שהתקבלה נקראת תאוצה מרכזית מכיוון שהיא פונה לכיוון מרכז מעגל התנועה. אם נעתיק את ווקטור המהירות v₂ על ווקטור המהירות v₁ נקבל שווקטור הפרש המהירויות, Δv, מצביע לכיוון מרכז מעגל התנועה. אם Δv מצביע אל עבר מרכז מעגל התנועה, אזי גם התאוצה המחושבת לפיו מצביעה אל עבר מרכז מעגל התנועה.

כדי להמחיש זאת בצורה הטובה ביותר נבחר גודל ווקטור מהירות השווה לגודל רדיוס המעגל ונבחר את נקודת הגוף השנייה של ווקטור המהירות v₂ אחרי רבע מעגל. אחרי העתקת ווקטור המהירות v₂ נקבל את השרטוט הבא,

חישוב כיוון התאוצה המרכזית

תלות התאוצה המרכזית במהירות הזוויתית היא,

v = ω R

a_centripetal = ω² R

נוכל לבטא את התאוצה המרכזית גם בעזרת תדירות תנועת הסיבוב תוך שימוש בנוסחת המהירות,

v = 2 π R f

a_centripetal = (2 π R f)² / R

a_centripetal = 4 π² R f²

כוח מרכזי

גוף הנע בתנועה מעגלית נע במהירות המשתנה (בכיוונה בלבד, לא בעוצמתה). השינוי במהירות הוא התאוצה המרכזית של תנועת הגוף. כידוע, גוף נע בתאוצה כאשר פועל עליו כוח.

הכוח הפועל על גוף הנע בתנועה מעגלית קרוי כוח מרכזי (כוח צנטריפטלי). את ערכו של הכוח המרכזי נמצא לפי הנוסחה,

F = m a

F_centripetal = mv² / R

כוח צנטריפוגלי

בתנועה מעגלית מאולצת פועל על הגוף כוח צנטריפטלי (כוח מרכזי) המושך את הגוף הנע לכיוון המרכז. לפי חוק הפעולה והתגובה חייב הגוף להפעיל כוח שווה בעוצמתו אך בכיוון ההפוך. משמע, הגוף מצידו מפעיל כוח נגדי הפועל דרך החוט המתוח על ציר הסיבוב. כוח נגדי זה נקרא כוח צנטריפוגלי.

עוצמתו של הכוח הצנטריפוגלי זהה לזו של הכוח הצנטריפטלי,

F_centrifugal = mv² / R

נשים לב שהכוח הצנטריפטלי והכוח הצנטריפוגלי הם שני כוחות הפועלים על שני גופים שונים!

הכוח הצנטריפטלי הוא כוח הפועל על הגוף הנע בעוד שהכוח הצנטריפוגלי הוא כוח הפועל על ציר הסיבוב.
ציר הסיבוב יכול להיות מוט קבוע, יד של אדם, וו תלייה וכדומה.

מכונות של תנועה מעגלית

ניתן לנצל את הכוחות הפועלים בתנועה מעגלית לצורך עשיית עבודה.

מכונת הכביסה מכילה תוף מחורר המסתובב במהירות גבוהה. המהירות הגבוה מקנה כוח מרכזי הפועל על הגופים המסתובבים בתוך התוף. הבגדים הרטובים שבתוך התוף נצמדים לדפנותיו, אך אינם יכולים לעבור דרך החורים הקטנים שבו. על טיפות המים הקטנות פועל כוח מרכזי גם כן, והן כן יכולות להיזרק החוצה מתוך התוף. כך מתבצעת פעולת ייבוש הבגדים.

מכונת הצנטריפוגה היא תוף שלם המסתובב במהירות גבוהה. בתוך התוף נמצא נוזל שרוצים לפרק למרכיבים שונים. לכל מרכיב בנוזל מסה שונה. לכן, על כל מרכיב של הנוזל פועל כוח מרכזי שונה בעוצמתו. המרכיב בעל המסה הגדולה יותר נצמד לדפנות התוף ואילו המרכיב בעל המסה הקטנה יותר מאכלס את מרכז התוף. כך ניתן להפריד בין מרכיבי הנוזל ולהעבירם בצינורות לכלים נפרדים.

[לפרק הקודם]

[ עמוד ראשי - מכניקה | מכניקה - קינמטיקה : תנועה ומהירות | תנועה במהירות קבועה | פירוק והרכבת ווקטור המהירות | תנועה שוות תאוצה | מהירות יחסית | קבוע הכבידה העולמי | כוח הכבידה של כדור-הארץ | נפילה חופשית | זריקה אנכית | זריקה אופקית | זריקה משופעת | תנועה סיבובית ]