התפרקות רדיואקטיבית

קצב התפרקות רדיואקטיבית

כפי שראינו, איזוטופים לא יציבים נוטים להתפרק במשך הזמן ליסודות יציבים יותר. ההחלטה על התפרקות הגרעין של האיזוטופ אינה מושפעת מתנאי הסביבה בה הוא נמצא והיא לגמרי פנימית ולא ניתנת לחיזוי עבור איזוטופ ספציפי.

למרות שאין באפשרותנו לדעת את הנקודה בזמן בה איזוטופ מסוים יתפרק ליסוד אחר יש באפשרותנו להעריך במידה טובה, באופן סטטיסטי, כמה איזוטופים יתפרקו מתוך קבוצה גדולה מספיק של איזוטופים. לפני שנביא את החישובים הסטטיסטים נטען קודם את הטענה החשובה המופיע מטה.

טענה: כמות האיזוטופים המתפרקת במהלך פרק זמן באורך מסוים נמצאת ביחס ישר לכמות האיזוטופים ההתחלתית.

נוכיח את הטענה שלעיל בעזרת הניסוי הבא. נניח שבידינו כמות גדולה של N איזוטופים מסוג מסוים. כעבור פרק זמן מסוים נגלה שכמות מסוימת מהם, אותה נסמן ΔN, התפרקה ליסוד אחר. אם היינו מתחילים את הניסוי עם כמות כפולה של 2N איזוטופים, אז הרי מן הסתם כעבור אותו פרק זמן מסוים היינו מגלים שכמות האיזוטופים שהתפרקה היא גם כפולה ושווה ל- 2ΔN. הרי יכולנו להניח את ערימת האיזוטופים של 2N בשתי ערימות נפרדות של N איזוטופים כל אחת, שבכל אחת מהן מתפרקת כמות של ΔN איזוטופים.

כמות האיזוטופים המתפרקת, שאותה סימנו ΔN, נמצאת ביחס ישר לכמות ההתחלתית N ולמשך פרק הזמן הנמדד, שאותו נסמן Δt. נבטא יחס ישר זה בעזרת הקשר הבא,

ΔN α -NΔt

ביטוי זה מייצג רק את העובדה שקיים יחס ישר (סימון האות היוונית α) בין כמות האיזוטופים ההתחלתית N, בין אורך משך זמן המדידה Δt ובין כמות האיזוטופים המתפרקת ΔN. נשים לב לסימן השלילי שנועד לסמן שהכמות ΔN היא כמות האיזוטופים שהתפרקו, כלומר, כמות האיזוטופים החסרים מהכמות ההתחלתית.

כמות האיזוטופים שהתפרקה תלויה גם בקצב ההתפרקות של האיזוטופים והוא שונה מחומר לחומר. ישנם סוגי איזוטופים מאוד לא יציבים שקצב התפרקותם הוא מהיר וישנם איזוטופים יציבים מאוד שקצב התפרקותם הוא איטי ביותר.

כדי למצוא את כמות האיזוטופים שהתפרקה נכניס לביטוי שלעיל את קצב ההתפרקות של החומר הרדיואקטיבי, שאותו נסמן λ. נקבל את המשוואה,

ΔN = -λ N Δt

נארגן את המשוואה קצת אחרת ונקבל,

1/N ‧ ΔN = -λ Δt

נבצע פעולת אינטגרל על כל אחד מאגפי המשוואה ונקבל,

∫1/N ‧ ΔN = -∫λ Δt

ln(N(t)) = -λt + C

כאשר C הוא קבוע האינטגרציה.

נעלה כל אגף כחזקה של המספר הטבעי e ונקבל,

e ^ln(N(t)) = e^-λt + C

N(t) = e^C e^-λt

אם נציב במשוואה שלעיל t=0 נצפה לקבל שברגע ההתחלתי הכמות ההתחלתית היא N₀,

N_t=0 = e^C = N₀

נציב את N₀ במקום e^C ונקבל את המשוואה הבאה,

N(t) = N₀ e^-λt

כאשר –
N(t) – כמות האיזוטופים בנקודת זמן t
N₀ – כמות האיזוטופים ההתחלתית בזמן t=0
λ – קבוע הדעיכה של החומר

משוואה זו מתארת תהליך אקספוננציאלי בו כמות האיזוטופים הולכת וקטנה בקצב התפרקות ההולך וקטן עם הזמן. ככל שהזמן עובר נותרים פחות ופחות איזוטופים ולכן ישנם פחות ופחות התפרקויות חדשות בקצב ההולך וקטן. בהינתן כמות התחלתית גדולה של איזוטופים יתכן ויידרש לעבור פרק זמן מאוד ארוך, עד אינסופי באופן מעשי, עד שהכמות כולה תתפרק.

לאיזוטופים מסוגים שונים יש אמנם קצב התפרקות שונה, אך לכולם נדרש (לפי המשוואה האקספוננציאלית שמצאנו) פרק זמן אינסופי כדי להתפרק לגמרי כשמדובר בקבוצה התחלתית גדולה. לכן משך זמן ההתפרקות המלא של קבוצת האיזוטופים אינו יכול לשמש כמדד המבדיל בין קבוצות איזוטופים מסוגים שונים בעלי קצב התפרקות שונה. לשם ההבחנה ביניהן נדרש למצוא מדד אחר שיבחין בין קצבי ההתפרקות של איזוטופים מסוגים שונים.

אמנם לקבוצות גדולות של איזוטופים מסוגים שונים לוקח זמן זהה ואינסופי להתפרק לגמרי, אך כל קבוצה מתפרקת בקצב שונה ומגיעה, למשל, לחצי מהכמות ההתחלתית שלה בנקודת זמן אחרת.

כדי שניתן יהיה לקבל מדד בר-השוואה לקצב ההתפרקות הרדיואקטיבית של חומר מסוים הוגדר מושג חדש של "זמן מחצית החיים".

"זמן מחצית החיים" הוא פרק הזמן בו מחצית מכמות האיזוטופים מתפרקת והופכת מאיזוטופ רדיואקטיבי ולא יציב ליסוד אחר. נשים לב שלא להתבלבל ולחשוב בטעות שזמן מחצית החיים הוא הזמן שבו עוברים האיזוטופים מחצית מזמן חייהם. שם מתאים יותר למושג "זמן מחצית החיים" הוא "זמן מחצית הכמות", אך אנו ניצמד כמובן לשם המקובל לשימוש.

נסמן את פרק זמן מחצית החיים על-ידי T½ ונקבל,

N(t=T½) = N₀ e^-λT½ = N₀ / 2

e^-λT½ = 1/2

-λT½ = ln(1/2) = 0.693...

T½ ≈ 0.693/λ

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - פיזיקה גרעינית | פיזיקה גרעינית - התפרקות רדיואקטיבית : גילוי הקרינה הרדיואקטיבית | סוגי קרינה רדיואקטיבית | קצב התפרקות רדיואקטיבית | תיארוך בעזרת התפרקות רדיואקטיבית | תהליכים גרעיניים נוספים | סדרות רדיואקטיביות | שימושי רדיואקטיביות וסכנות הקרינה | גלאי קרינה רדיואקטיבית | סיכום ]