תנאים לשיווי-משקל

גוף הנמצא במצב של שיווי משקל הוא גוף שאינו נע בהשפעת כוח ושאינו מוטה סביב ציר כלשהו בהשפעת כוח. כדי שגוף יהיה במצב של שיווי משקל נדרוש קיומם של שני תנאים.

תנאי ראשון לשיווי-משקל: סכום ווקטורי הכוח הפועלים על הגוף הוא אפס.

הנה מספר דוגמאות לגופים הנמצאים במצב מנוחה.

על ספר המונח על שולחן פועלים שני כוחות. כוח אחד הוא כוח-הכבידה של כדור-הארץ המושך את הספר מטה אל עבר מרכז הכובד של כדור-הארץ. הכוח השני הוא כוח ההתנגדות של השולחן המבטל כוח זה.

על משקולת התלויה בקצהו של קפיץ הדינמומטר פועלים שני כוחות. כוח אחד הוא כוח-הכבידה של כדור-הארץ המושך את המשקולת מטה. הכוח השני הוא הכוח הנגדי בכיוון שמפעיל הקפיץ המתוח.

על גוף תאורה התלוי מהתקרה פועלים שני כוחות. כוח אחד הוא כוח-הכבידה של כדור-הארץ. הכוח השני הוא כוח מתיחות הכבל המחזיק את גוף התאורה במקומו.

דוגמה

מהו משקל המשקולת השנייה באיור הבא על-מנת שהמערכת כולה תהיה במצב של שיווי-משקל?

מערכת של שתי משקולות המחוברת לקיר

ראשית נצייר את כל הכוחות הפועלים במערכת,

הכוחות הפועלים במערכת

כדי שהמערכת תהיה בשיווי-משקל נדרש שעל כל משקולת וחוט סכום הכוחות הפועלים יהיה שווה לאפס. לכן נקבל את המשוואות הבאות,

T₁ = F₁
T₂ = F₂
T₃ = F₃

המתיחות T₂ הפועלת על המשקולת השנייה, שמשקלה אינו ידוע, מתפצלת בפעולתה לשני חוטים המחוברים אליה. חוט אחד מחובר בקצהו השני למשקולת הראשונה. חוט שני מחובר בקצהו השני לוו המקובע בקיר. על חוטים אלו פועלים כוחות המתיחות T_2I ו- T_2II בהתאמה,

כוחות המתיחות הפועלים לאורך החוטים

על כל חוט פועלים שני כוחות מתיחות שחייבים להיות שווים במצב של שיווי-משקל. לכן נקבל,

T₁ = T_2I
T₃ = T_2II

את הכוח T₁ נפצל לשני רכיביו בציר x ובציר y ונקבל,

T_1x = T₁ sin 30º
T_1y = T₁ cos 30º

פיצול רכיבי כוחות המתיחות לפי הצירים

כדי שהמשקולת השנייה תהיה במצב של שיווי-משקל נדרש שרכיב הכוח של T₁ הפועל בציר x יהיה שווה לרכיב הכוח של T₃ הפועל בציר x (בכיוון ההפוך). נקבל,

T_1x = T_3x
T₁ sin 30º = T₃ sin 45º

ממשוואה זו נוכל לחשב את ערך המתיחות T₃,

T₃ = T₁ sin 30º / sin 45º

והרכיב של הכוח T₃ הפועל בציר y יהיה שווה ל-

T_3y = T₃ cos 45º = T₃ sin 45º
T_3y = (T₁ sin 30º / sin 45º) • sin 45º
T_3y = T₁ sin 30º

הערה: נשים לב שמכיוון שזווית ההטיה של החוט הקשור לוו היא 45 מעלות, נוכל להחליף את פונקצית הסינוס בקוסינוס ולהיפך כרצוננו...

במצב של שיווי-משקל נדרש שסכום רכיבי הכוח בציר y של T₁ ו- T₃ יהיה שווה לכוח T₂ הפועל אנכית על המשקולת השנייה לאורך ציר y. נקבל את המשוואה,

T₂ = T_1y + T_3y
T₂ = T₁ cos 30º + T₁ sin 30º
T₂ = T₁ • (cos 30º + sin 30º)
T₂ = T₁ • (√3/2 + 1/2)
T₂ = 1.366 T₁

כעת נשתמש בנוסחה,

F = m g

נקבל,

m₂ g = 1.366 m₁ g
m₂ = 1.366 m₁
m₂ = 1.366 * 173 = ~236

משקל המשקולת השנייה הנו 236 גרם בקירוב.

תנאי שני לשיווי-משקל: סכום המומנטים הפועלים על הגוף הוא אפס.

התנאי השני נקרא גם חוק המומנטים. הנה מספר דוגמאות לגופים הנמצאים במצב מנוחה.

על כל אחד משני כפי מאזניים מונחת משקולת זהה. כל משקולת מפעילה מומנט כוח על זרוע אחת של המשקולת. מכיוון ששתי המשקולות זהות ונמצאות במרחק נגדי שווה משני צידי ציר הסיבוב נקבל שמומנט הכוח שכל משקולת מפעילה הוא זהה לזו של המשקולת השנייה. כך שהמאזניים מאוזנים ונקבל שהמערכת כולה נמצאת במצב של שיווי משקל.

פועל סוחב על כתפו מוט שבכל קצה שלו מורכב דלי. הדלי האחורי מלא כולו והדלי הקדמי מלא רק חציו. קיימת במוט נקודת משען אחת שאם תונח על כתפו של הפועל, אזי המוט יהיה במצב מאוזן ללא צורך בהפעלת כוח נוסף. נקודת משען זו היא הנקודה בה סכום מומנטי הכוח משני צידיה הוא אפס.

דוגמה

במערכת הבאה מונחים על קורת עץ המחוברת לציר שתי משקולות באותו הצד ובמרחקים שונים מהציר. פועל הנמצא במקום מוגבה מושך מעלה את קורת העץ מן הקצה. כמה כוח נדרש מהפועל להפעיל על מנת שהקורה תהיה במצב של שיווי-משקל?

מערכת של שלושה מקורות כוח

כדי שהקורה תהיה בשיווי-משקל נדרש שהמומנט שיוצר ההיטל האנכי של הכוח האלכסוני שמפעיל הפועל (מסומן בכתום בציור) יהיה שווה לסכום מומנטי הכוח שמפעילות המשקולות על הקורה.

סכום מומנטי הכוח שמפעילות המשקולות על הקורה הוא,

F₁ x₁ + F₂ x₂ =
m₁g x₁ + m₂g x₂ =
200•9.8•0.5 + 100•9.8•(0.5+1) =
2450

ההיטל האנכי של הכוח האלכסוני שמפעיל הפועל הוא,

F cos45º = √2/2 F

ומומנט הכוח הנוצר הוא,

√2/2 F • (0.5 + 1 + 0.5) = √2 F

נשווה את התוצאות ונקבל,

√2 F = 2,450

F = 1,732

הערה: זהו כוח השקול לכוח משקלה של משקולת בעלת מסה של,

M = F / g = 177[kg]

[לפרק הקודם]

[ עמוד ראשי - מכניקה | מכניקה - סטטיקה : מבוא לסטטיקה | עוצמת הכוח | מסה ומשקל | כיוון הכוח | מרכז הכובד | פירוק ווקטור הכוח למרכיביו | מישור משופע | ווקטור כוח שקול | תנאים לשיווי משקל ]