משוואה ממעלה רביעית

משוואה ממעלה רביעית (הנקראת גם משוואה קווארדית) היא משוואה מהצורה הכללית הבאה,

x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0

גם למשוואה ממעלה רביעית יש פתרון כללי בו מבוטא ערכו של הנעלם x בעזרת מקדמי המשוואה.

שימוש בפתרון הכללי הנו מורכב ומייגע וחורג מלימודי המתמטיקה התיכונית.

בדומה לפתרון משוואה ממעלה שלישית גם משוואה ממעלה רביעית (חלקית או מלאה) נפתור בעזרת שיטות שונות.

פתרון המקרה הפרטי

הנה דוגמה למשוואה חלקית מאוד ממעלה רביעית בעלת פתרון פשוט,

x⁴ – 16 = 0

משוואה זו היא מקרה פרטי ביותר של המשוואה ממעלה רביעית בה שלושה מהמקדמים הם בעלי ערך אפס.
עבור משוואה זו ישנם ארבעה פתרונות אפשריים, שני פתרונות ממשיים ושני פתרונות דמיוניים,

x_1,2,3,4 = 2, -2, 2i, -2i

פתרון בעזרת מציאת גורם משותף

עבור משוואות ממעלה רביעית מורכבות יותר נצטרך להשתמש בשיטות שונות. שיטה אחת היא מציאת גורם משותף, שיטה שהוצגה בפרק של משוואה ממעלה שלישית.

לדוגמה נפתור את המשוואה הבאה,

x⁴ – 3x³ – 8x + 24 = 0
x(x³ – 8) – 3•(x³ – 8) = 0
(x – 3)•(x³ – 8) = 0

x – 3 = 0 ► x = 3
x³ – 8 = 0 ► x = 2

קיבלנו שני פתרונות אפשריים למשוואה ממעלה רביעית שלעיל.

פתרון בעזרת הורדת דרגת המשוואה

שיטת פתרון אחרת היא בעזרת הורדת דרגת המעלה של המשוואה בעזרת הצבה והחלפת הנעלם x בביטוי נעלם אחר.

לדוגמה נפתור את המשוואה הבאה,

x⁴ – 5x² + 4 = 0

נציב y=x² במשוואה שלעיל, בעזרת הצבה זו תרד דרגת המשוואה ממעלה רביעית למעלה שנייה. נקבל את המשוואה הריבועית הבאה,

y² – 5y + 4 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית שלעיל הן,

y_1,2 = 1, 4

נחזור לנעלם x ונקבל את ארבעת הפתרונות הבאים,

x² = 1 ► x = 1, -1
x² = 4 ► x = 2, -2

בעזרת השיטות שהודגמו כאן ניתן לפתור, כמובן, גם מקרה פרטי של משוואה ממעלה גדולה יותר ממעלה רביעית.

למשל, מהן הפתרונות האפשריים של המשוואה הבאה,

x⁶ – 5x³ + 4 = 0

◄ להעשרה נוספת ניתן לקרוא את הפרק באתר זה הדן בדרך גילוי פתרון המשוואות הקווארדיות.

[לפרק הקודם | לפרק הבא]